Calcule as expressões abaixo.
k) \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma das três frações. As informações dadas são:
  • As frações a somar são \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3} e \dfrac{1}{5}.
    A tarefa é apresentar o resultado em forma de fração irredutível (e, se quiser, como número misto).

Passo 2

Para somar frações precisamos que elas tenham o mesmo denominador. A forma mais prática é usar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Vou explicar como achar o MMC de 2, 3 e 5.
  • Decompondo em fatores primos: 2=2, 3=3, 5=5.
  • O MMC é o produto dos fatores primos distintos na maior potência que aparecem. Aqui todos são primos e distintos, então
\text{MMC}(2,3,5)=2\cdot3\cdot5=30.
Escolhemos 30 porque é o menor denominador comum que permite somar sem quebrar as frações em partes menores.

Passo 3

Agora vamos reescrever cada fração com denominador 30. Para isso multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo número (isso não altera o valor da fração).
  • Para \dfrac{1}{2}: multiplicar por \dfrac{15}{15}
\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot15}{2\cdot15}=\dfrac{15}{30}.
  • Para \dfrac{1}{3}: multiplicar por \dfrac{10}{10}
\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot10}{3\cdot10}=\dfrac{10}{30}.
  • Para \dfrac{1}{5}: multiplicar por \dfrac{6}{6}
\dfrac{1}{5}=\dfrac{1\cdot6}{5\cdot6}=\dfrac{6}{30}.

Passo 4

Com denominadores iguais podemos somar os numeradores e manter o denominador:
\dfrac{15}{30}+\dfrac{10}{30}+\dfrac{6}{30}=\dfrac{15+10+6}{30}=\dfrac{31}{30}.
Regra usada: quando \dfrac{a}{d} e \dfrac{b}{d} têm mesmo denominador d, então \dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{d}.

Passo 5

Verificar se a fração pode ser simplificada e, se for o caso, escrevê-la como número misto.
  • O numerador é 31 e o denominador 30. O máximo divisor comum é \gcd(31,30)=1 (porque 31 é primo e não divide 30). Então a fração está irredutível.
  • Como 31>30 é uma fração imprópria, podemos convertê-la para número misto: dividir 31 por 30 dá cociente 1 e resto 1. Assim
\dfrac{31}{30}=1\frac{1}{30}.

Resposta

\dfrac{31}{30}
1\frac{1}{30}

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