Calcule as expressões abaixo, simplificando o resultado. Sempre que necessário, suponha que os termos no interior das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero.
\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{(x-1)^{2}+2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{(x-1)^{2}+2x-3}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma fração algébrica com numerador e denominador em termos de x.
  • Sempre que necessário devemos supor os radicandos não negativos e denominadores diferentes de zero — portanto não podemos aceitar valores de x que façam o denominador igual a zero.
  • O objetivo é simplificar a expressão (ou seja, reduzir fatores iguais quando possível), deixando explícitas quaisquer restrições no domínio.

Passo 2

Vamos simplificar o numerador usando a identidade da diferença de quadrados. Lembrete (fórmula):
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui podemos identificar a=x e b=\sqrt{2}. Portanto o numerador
(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})
é igual a
x^{2}-(\sqrt{2})^{2}.
Calculando (\sqrt{2})^{2} obtemos 2, logo o numerador fica
x^{2}-2.

Passo 3

Agora vamos desenvolver o denominador. Primeiro calculemos (x-1)^{2}:
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
Somando com 2x-3 (como indicado no denominador) temos
(x-1)^{2}+2x-3 = (x^{2}-2x+1) + (2x-3).
Agrupando termos semelhantes:
x^{2}-2x+1+2x-3 = x^{2} + ( -2x+2x ) + (1-3) = x^{2}-2.
Portanto o denominador também é
x^{2}-2.

Passo 4

Como numerador e denominador são iguais a x^{2}-2, a fração é
\frac{x^{2}-2}{x^{2}-2}.
Uma fração com numerador e denominador iguais simplifica para 1, desde que o denominador não seja zero. Assim, a expressão simplifica para 1 com a restrição de que x^{2}-2\neq0.
Restrições: x^{2}-2=0 quando x=\pm\sqrt{2}. Esses valores tornam o denominador zero na expressão original, portanto são proibidos (a expressão original não está definida em x=\pm\sqrt{2}).

Passo 5

Conclusão: a expressão simplifica para 1 para todo x que não anule o denominador, ou seja, para x\neq\pm\sqrt{2}. Lembre-se: nos pontos x=\pm\sqrt{2} a expressão original é indefinida.

Resposta

1,\\ \text{para }x\neq\pm\sqrt{2}

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