Calcule as expressões abaixo, simplificando o resultado. Sempre que necessário, suponha que os termos no interior das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma fração algébrica com numerador e denominador em termos de
. - Sempre que necessário devemos supor os radicandos não negativos e denominadores diferentes de zero — portanto não podemos aceitar valores de
que façam o denominador igual a zero. - O objetivo é simplificar a expressão (ou seja, reduzir fatores iguais quando possível), deixando explícitas quaisquer restrições no domínio.
Passo 2
Vamos simplificar o numerador usando a identidade da diferença de quadrados. Lembrete (fórmula):
onde
e
são quaisquer expressões. Aqui podemos identificar
e
. Portanto o numerador
é igual a
Calculando
obtemos
, logo o numerador fica
Passo 3
Agora vamos desenvolver o denominador. Primeiro calculemos
:
Somando com
(como indicado no denominador) temos
Agrupando termos semelhantes:
Portanto o denominador também é
Passo 4
Como numerador e denominador são iguais a
, a fração é
Uma fração com numerador e denominador iguais simplifica para
, desde que o denominador não seja zero. Assim, a expressão simplifica para
com a restrição de que
.
Restrições:
quando
. Esses valores tornam o denominador zero na expressão original, portanto são proibidos (a expressão original não está definida em
).
Passo 5
Conclusão: a expressão simplifica para
para todo
que não anule o denominador, ou seja, para
. Lembre-se: nos pontos
a expressão original é indefinida.