Calcule as expressões abaixo, simplificando o resultado. Sempre que necessário, suponha que os termos no interior das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero.
\frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2)}{4-(x-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2)}{4-(x-2)^{2}}.
Informações/condições dadas (ou implicadas):
  • Está implícito que os termos dentro das raízes são não negativos, logo \,x\ge 0.
  • Os denominadores não podem ser zero, portanto valores que anulem o denominador devem ser excluídos.
    A tarefa é manipular algebricamente a expressão e apresentar uma forma simplificada, indicando as restrições necessárias.

Passo 2

Simplificar o numerador usando a identidade “diferença de quadrados”. Lembrete prático: para quaisquer a e b vale
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui podemos tomar a=2 e b=\sqrt{x}. Assim
(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2)=(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})=2^{2}-(\sqrt{x})^{2}=4-x.

Passo 3

Simplificar o denominador expandindo o quadrado e fatorando. Primeiro
(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4.
Logo
4-(x-2)^{2}=4-(x^{2}-4x+4)=4-x^{2}+4x-4=-x^{2}+4x.
Fatorando -x^{2}+4x por x obtemos
-x^{2}+4x=x(4-x).

Passo 4

Substituindo as formas simplificadas no quociente:
\frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}+2)}{4-(x-2)^{2}}=\frac{4-x}{x(4-x)}.
Agora podemos cancelar o fator comum 4-x no numerador e denominador, desde que 4-x\neq0. Após o cancelamento obtemos
\frac{4-x}{x(4-x)}=\frac{1}{x},\qquad\text{para }4-x\neq0.

Passo 5

Determinar as restrições finais (domínio da expressão original):
  • Pela raiz, exige-se x\ge 0.
  • Pelo denominador original x(4-x)\neq0, ou seja, x\neq0 e x\neq4.
    Combinando: x>0 e x\neq4. Portanto a simplificação é válida para x>0 com x\neq4.

Resposta

\dfrac{1}{x},\quad x>0,\\ x\neq4

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