Calcule as expressões abaixo, simplificando o resultado. Sempre que necessário, suponha que os termos no interior das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- Sempre que necessário, podemos supor que as expressões dentro das raízes são não negativas.
- Os denominadores são diferentes de zero.
O que precisamos fornecer: a forma simplificada da expressão, lembrando as condições sobre as raízes e o denominador.
Passo 2
Observação algébrica útil (identidade que vamos usar): para quaisquer números
e
vale a identidade da diferença de quadrados
Aqui é conveniente escolher
e
. Vou explicar devagar:
é uma quantidade tal que
. A identidade diz que multiplicando a soma pela diferença obtemos a diferença dos quadrados.
Passo 3
Aplicando a identidade ao numerador:
Explicando cada passo: calculei
e
, então a diferença é
.
Passo 4
Substituindo no quociente original:
Agora note que, se definirmos
, temos
sempre que a raiz
estiver definida. Para
vale
porque
e dividir cancela um fator
. Aplicando isso com
obtemos
Passo 5
Condições de validade: para que todas as raízes façam sentido e o denominador não seja zero, é preciso ter
A primeira condição dá
; a segunda exclui
. Portanto a simplificação
é válida para
. (Se
a expressão original teria denominador zero e, portanto, não está definida.)