Calcule as expressões abaixo, simplificando o resultado. Sempre que necessário, suponha que os termos no interior das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero.
\frac{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)}{\sqrt{x-25}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)}{\sqrt{x-25}}.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Sempre que necessário, podemos supor que as expressões dentro das raízes são não negativas.
  • Os denominadores são diferentes de zero.
O que precisamos fornecer: a forma simplificada da expressão, lembrando as condições sobre as raízes e o denominador.

Passo 2

Observação algébrica útil (identidade que vamos usar): para quaisquer números a e b vale a identidade da diferença de quadrados
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui é conveniente escolher a=\sqrt{x} e b=5. Vou explicar devagar: \sqrt{x} é uma quantidade tal que (\sqrt{x})^{2}=x. A identidade diz que multiplicando a soma pela diferença obtemos a diferença dos quadrados.

Passo 3

Aplicando a identidade ao numerador:
(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)=(\sqrt{x})^{2}-5^{2}=x-25.
Explicando cada passo: calculei (\sqrt{x})^{2}=x e 5^{2}=25, então a diferença é x-25.

Passo 4

Substituindo no quociente original:
\frac{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)}{\sqrt{x-25}}=\frac{x-25}{\sqrt{x-25}}.
Agora note que, se definirmos t=x-25, temos t\ge 0 sempre que a raiz \sqrt{x-25} estiver definida. Para t>0 vale
\frac{t}{\sqrt{t}}=\frac{(\sqrt{t})^{2}}{\sqrt{t}}=\sqrt{t},
porque \sqrt{t}>0 e dividir cancela um fator \sqrt{t}. Aplicando isso com t=x-25 obtemos
\frac{x-25}{\sqrt{x-25}}=\sqrt{x-25}.

Passo 5

Condições de validade: para que todas as raízes façam sentido e o denominador não seja zero, é preciso ter
x-25\ge 0\quad\text{e}\quad \sqrt{x-25}\neq 0.
A primeira condição dá x\ge 25; a segunda exclui x=25. Portanto a simplificação \sqrt{x-25} é válida para x>25. (Se x=25 a expressão original teria denominador zero e, portanto, não está definida.)

Resposta

\sqrt{x-25} para x>25

Exercícios relacionados