Calcule as expressões.
i) \sqrt{\left|-2 x^{2}\\right|}

Passo 1

O enunciado pede calcular a expressão \sqrt{\left|-2 x^{2}\right|}.\
Informações dadas e suposições que usarei:
  • A expressão contém valor absoluto e raiz quadrada.
  • Vou considerar x\in\mathbb{R}, isto é, x é um número real.

Passo 2

Usar uma propriedade básica do valor absoluto: para quaisquer números reais a e b vale
|ab|=|a|\cdot|b|.
Aplicando essa propriedade a \left|-2 x^{2}\right| obtemos
\left|-2 x^{2}\right|=|-2|\cdot|x^{2}|.

Passo 3

Calcular separadamente os dois valores absolutos:
  • |-2|=2 porque o valor absoluto de um número é sua distância até zero.
  • Para qualquer x\in\mathbb{R} tem-se x^{2}\ge 0, portanto |x^{2}|=x^{2}.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\left|-2 x^{2}\right|=2x^{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a raiz quadrada. Sabendo que 2x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, podemos separar a raiz do produto:
\sqrt{\left|-2 x^{2}\right|}=\sqrt{2x^{2}}=\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}}.
Lembrando a propriedade da raiz quadrada para quadrados: para todo x\in\mathbb{R}
\sqrt{x^{2}}=|x|,
pois a raiz quadrada principal é não negativa. Assim
\sqrt{\left|-2 x^{2}\right|}=\sqrt{2}\,|x|.

Passo 5

Interpretação final em forma mais explícita (opcional, útil para provas):
\sqrt{\left|-2 x^{2}\right|}= \begin{cases} \sqrt{2}\,x, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] -\sqrt{2}\,x, & \text{se }x<0, \end{cases}
mas a forma compacta e usual é \sqrt{2}\,|x|.]

Resposta

\sqrt{\left|-2 x^{2}\right|}=\sqrt{2}\,|x|

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