Calcule as expressões e simplifique os resultados:
g) 2^{2 x}-2^{x}+1=

Passo 1

O enunciado pede que a expressão seja calculada e simplificada:
2^{2x}-2^{x}+1.
As informações dadas são apenas essa expressão em função de x. O objetivo é simplificá‑la algébrica e, se possível, reescrevê‑la numa forma mais manejável.

Passo 2

Vou lembrar uma regra básica de potência que vamos usar: para qualquer base positiva e qualquer número real x,
2^{2x}=(2^x)^2.
Isto vem da propriedade a^{mn}=(a^m)^n. Aqui tomamos a=2, m=x, n=2.

Passo 3

Para tornar a expressão mais clara, faço a substituição temporária
y=2^x.
Essa substituição é só para manipular a expressão; depois voltamos para 2^x. Com isso a expressão vira um polinômio quadrático em y:
y^2-y+1.

Passo 4

Agora vamos simplificar o quadrático y^2-y+1. Uma técnica útil é completar o quadrado. Explico o processo passo a passo:
  1. Pegue y^2-y+1.
  2. Tome o coeficiente de y, que é -1, divida por 2 dando -\tfrac{1}{2}, e eleve ao quadrado: \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}.
  3. Adicione e subtraia esse \tfrac{1}{4} dentro da expressão para não alterá‑la:
y^2-y+1 = \bigl(y^2-y+\tfrac{1}{4}\bigr) + 1-\tfrac{1}{4}.
  1. O primeiro grupo é um quadrado perfeito: \bigl(y^2-y+\tfrac{1}{4}\bigr)=(y-\tfrac{1}{2})^2.
  2. O segundo grupo simplifica: 1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Portanto
y^2-y+1 = \left(y-\tfrac{1}{2}\right)^2+\tfrac{3}{4}.

Passo 5

Agora voltamos da substituição y=2^x para a variável original. Substituindo:
2^{2x}-2^{x}+1 = \left(2^x-\tfrac{1}{2}\right)^2+\tfrac{3}{4}.

Passo 6

Comentário didático e útil para a prova: essa forma mostra que a expressão nunca é zero (é sempre positiva), porque \left(2^x-\tfrac{1}{2}\right)^2\ge0 e soma \tfrac{3}{4}>0. O valor mínimo ocorre quando 2^x=\tfrac{1}{2}, isto é, x=-1, e o mínimo é \tfrac{3}{4}. Mas como pedido na questão, a forma completada do quadrado já é a simplificação solicitada.

Resposta

\left(2^x-\tfrac{1}{2}\right)^2+\tfrac{3}{4}

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