Calcule as expressões e simplifique os resultados:
f) \frac{x}{x+\frac{1}{x}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão \dfrac{x}{x+\dfrac{1}{x}}.
Informações dadas: a expressão contém uma fração complexa (uma fração dentro do denominador).

Passo 2

Antes de manipular, olhar o domínio: a expressão usa \dfrac{1}{x}, então é necessário que x\neq 0. Portanto, todas as manipulações valem para \,x\neq 0.

Passo 3

Vamos reescrever o denominador como uma única fração usando o mesmo denominador x. Para somar x e \dfrac{1}{x} converte-se x para denominador x:
x = \dfrac{x\cdot x}{x} = \dfrac{x^2}{x}.
Assim,
x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2+1}{x}.

Passo 4

Agora a expressão original fica
\frac{x}{x+\dfrac{1}{x}}=\frac{x}{\dfrac{x^2+1}{x}}.
Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso (recíproco) dessa fração. O recíproco de \dfrac{x^2+1}{x} é \dfrac{x}{x^2+1}. Portanto,
\frac{x}{\dfrac{x^2+1}{x}}=x\cdot\frac{x}{x^2+1}.

Passo 5

Multiplicando e simplificando os fatores:
x\cdot\frac{x}{x^2+1}=\frac{x^2}{x^2+1}.
Não há fator comum que cancele entre numerador e denominador além daqueles já considerados, então esta é a forma simplificada.

Passo 6

Resumo didático rápido: para simplificar frações com outra fração no denominador, junte termos do denominador em uma única fração (mesmo denominador), depois divida multiplicando pelo recíproco. Sempre observe o domínio (aqui x\neq 0) para não introduzir valores inválidos.

Resposta

\dfrac{x^2}{x^2+1},\; x\neq 0

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