Calcule f^{\prime}(x) pela definição.
f(x)=\frac{x-3}{2 x+4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x-3}{2x+4}
usando a definição de derivada. Vamos aplicar o limite da diferença quociente e fazer manipulações algébricas com frações para chegar a f'(x).

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 3

Calculamos f(x+h) substituindo x por x+h:
f(x+h)=\frac{(x+h)-3}{2(x+h)+4} =\frac{x + h - 3}{2x + 2h + 4}.

Passo 4

Formamos f(x+h)-f(x) com denominador comum (2x+2h+4)(2x+4):
f(x+h)-f(x) =\frac{x+h-3}{2x+2h+4}-\frac{x-3}{2x+4} =\frac{(x+h-3)(2x+4)-(x-3)(2x+2h+4)}{(2x+2h+4)(2x+4)}.

Passo 5

Expandimos e simplificamos o numerador:
(x+h-3)(2x+4)=2x^2-2x+2xh+4h-12, \quad (x-3)(2x+2h+4)=2x^2+2xh-2x-6h-12,
logo a diferença é
[2x^2-2x+2xh+4h-12]-[2x^2+2xh-2x-6h-12]=10h.
Assim, a diferença quociente fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{10h}{h\,(2x+2h+4)(2x+4)} =\frac{10}{(2x+2h+4)(2x+4)}.

Passo 6

Tomando o limite h\to 0:
f'(x) =\lim_{h\to 0}\frac{10}{(2x+2h+4)(2x+4)} =\frac{10}{(2x+4)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{10}{(2x+4)^2}.

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