Encontre as equações da reta tangente e normal à curva y=f(x) no ponto de abscissa indicada.
y=\frac{1}{x} ; x=2

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y = \frac{1}{x}
e pede as equações da reta tangente e da reta normal no ponto de abscissa x=2. Para isso, vamos usar o conceito de derivada para encontrar o coeficiente angular da tangente e, em seguida, obter o coeficiente angular da normal, lembrando que a normal é perpendicular à tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x)=1/x para obter o coeficiente angular da tangente:
f'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) = -\frac{1}{x^2}.
Em x=2, o coeficiente angular da tangente é
m_{\text{tan}} = f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}.

Passo 3

O ponto de contato tem coordenadas
(x_0,y_0) = \bigl(2,\;f(2)\bigr) = \Bigl(2,\;\tfrac12\Bigr).
Usando a forma ponto-inclinação para a reta tangente:
y - y_0 = m_{\text{tan}}\,(x - x_0)
substituímos y_0=\tfrac12, m_{\text{tan}}=-\tfrac14 e x_0=2, obtendo
y - \frac12 = -\frac{1}{4}\,(x - 2).
Podemos também colocar em forma explícita:
y = -\tfrac{1}{4}x + 1.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, logo seu coeficiente angular m_{\text{nor}} satisfaz
m_{\text{tan}}\cdot m_{\text{nor}} = -1 \quad\Longrightarrow\quad m_{\text{nor}} = -\frac{1}{m_{\text{tan}}} = -\frac{1}{-\tfrac14} = 4.
Usando novamente a forma ponto-inclinação com m_{\text{nor}}=4 e o mesmo ponto \bigl(2,\tfrac12\bigr):
y - \frac12 = 4\,(x - 2),
ou em forma explícita:
y = 4x - \frac{15}{2}.

Resposta

A reta tangente é
y - \frac12 = -\frac{1}{4}\,(x - 2) \quad\text{ou}\quad y = -\frac{1}{4}x + 1.
A reta normal é
y - \frac12 = 4\,(x - 2) \quad\text{ou}\quad y = 4x - \frac{15}{2}.

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