Encontre as equações da reta tangente e normal à curva
no ponto de abscissa indicada.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede as equações da reta tangente e da reta normal no ponto de abscissa
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada para encontrar o coeficiente angular da tangente e, em seguida, obter o coeficiente angular da normal, lembrando que a normal é perpendicular à tangente.
Passo 2
Calculamos a derivada de
para obter o coeficiente angular da tangente:
Em
, o coeficiente angular da tangente é
Passo 3
O ponto de contato tem coordenadas
Usando a forma ponto-inclinação para a reta tangente:
substituímos
,
e
, obtendo
Podemos também colocar em forma explícita:
Passo 4
A reta normal é perpendicular à tangente, logo seu coeficiente angular
satisfaz
Usando novamente a forma ponto-inclinação com
e o mesmo ponto
:
ou em forma explícita:
Resposta
A reta tangente é
A reta normal é