Calcule f^{\prime}(x) pela definição.
f(x)=\sqrt{3 x+4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição de derivada, a derivada de
f(x)=\sqrt{3x+4}.
O conteúdo é o limite do quociente incremental. Vamos usar
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Aplicando a definição, escrevemos o quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\sqrt{3(x+h)+4}-\sqrt{3x+4}}{h} =\frac{\sqrt{3x+3h+4}-\sqrt{3x+4}}{h}.

Passo 3

Para eliminar a raiz no numerador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{3x+3h+4}+\sqrt{3x+4}:
\frac{\sqrt{3x+3h+4}-\sqrt{3x+4}}{h} \cdot \frac{\sqrt{3x+3h+4}+\sqrt{3x+4}}{\sqrt{3x+3h+4}+\sqrt{3x+4}}
=\frac{(3x+3h+4)-(3x+4)}{h\bigl(\sqrt{3x+3h+4}+\sqrt{3x+4}\bigr)} =\frac{3h}{h\bigl(\sqrt{3x+3h+4}+\sqrt{3x+4}\bigr)}.

Passo 4

Podemos cancelar h (para h\neq0) e depois tomar o limite quando h\to0:
\frac{3h}{h\bigl(\sqrt{3x+3h+4}+\sqrt{3x+4}\bigr)} =\frac{3}{\sqrt{3x+3h+4}+\sqrt{3x+4}}.
Agora, fazendo h\to0, temos \sqrt{3x+3h+4}\to\sqrt{3x+4}, logo
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{3}{\sqrt{3x+3h+4}+\sqrt{3x+4}} =\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}.

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