Calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=4 \operatorname{sec} x+\operatorname{cotg} x+\operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = 4\operatorname{sec} x + \operatorname{cotg} x + \cossec x
ou seja, precisamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas, em particular as fórmulas para \operatorname{sec} x, \cot x e \csc x.

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar a notação em LaTeX:
\operatorname{cotg} x é o mesmo que \cot x e \cossec x é o mesmo que \csc x. Assim podemos reescrever
f(x) = 4\,\operatorname{sec} x + \cot x + \csc x.

Passo 3

As derivadas básicas que vamos usar são:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = \operatorname{sec} x \tan x,
\frac{d}{dx}\cot x = -\,\csc^{2}x,
\frac{d}{dx}\csc x = -\,\csc x \cot x.

Passo 4

Usando a linearidade da derivada (derivada da soma é soma das derivadas, e constante sai na frente), temos
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4\,\operatorname{sec} x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr).
Aplicando as fórmulas:
\frac{d}{dx}\bigl(4\,\operatorname{sec} x\bigr) = 4\;\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = 4\,\operatorname{sec} x \tan x,
\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr) = -\,\csc^{2}x,
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr) = -\,\csc x \cot x.

Resposta

f'(x) = 4\,\operatorname{sec} x \tan x \;-\;\csc^{2}x \;-\;\csc x \cot x.

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