Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
x^{\pi} \pi^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{\pi}\,\pi^{x}.
Para resolver isso vamos usar a regra do produto e as fórmulas de derivada de x^{a} (com a constante) e de a^{x} (com a constante).

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{\pi}.
Como \pi é constante, pela regra de potência temos
u'(x)=\pi\,x^{\pi-1}.

Passo 3

Definimos
v(x)=\pi^{x}.
Para derivar usamos que \pi^{x}=e^{x\ln\pi}, logo
v'(x)=\pi^{x}\,\ln\pi.

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v' obtemos
f'(x)=\bigl(\pi\,x^{\pi-1}\bigr)\,\pi^{x}+x^{\pi}\,\bigl(\pi^{x}\ln\pi\bigr) =\pi^{x}x^{\pi-1}\,\pi +\pi^{x}x^{\pi}\ln\pi.

Passo 5

Fatorando x^{\pi-1}\pi^{x} ou, equivalentemente, x^{\pi}\pi^{x}, uma forma compacta é
f'(x) =x^{\pi-1}\pi^{x}\bigl(\pi + x\ln\pi\bigr) \quad\text{ou}\quad f'(x)=x^{\pi}\pi^{x}\Bigl(\frac{\pi}{x}+\ln\pi\Bigr).

Resposta

f'(x)=x^{\pi-1}\,\pi^{x}\,\bigl(\pi + x\ln\pi\bigr).

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