Calcule f^{\prime}(x) :
2. f(x)=\left(3 x^{2}+1\right)^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada:
f(x)=\left(3x^{2}+1\right)^{4}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma composição de uma função interior u(x)=3x^{2}+1 elevada à potência 4.
  • A pergunta é: calcular f^{\prime}(x), ou seja, a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vamos relembrar as regras de derivação que vamos usar (a explicação é detalhada para você entender bem e aplicar na prova).
Regra do expoente (regra da potência) para uma função do tipo (u(x))^{n}:
\text{Se }F(x)=(u(x))^{n}\text{ então }F'(x)=n\,(u(x))^{n-1}\,u'(x).ã
Aqui:
  • u(x) é uma função qualquer de x (a “parte de dentro”),
  • n é um número real (o expoente),
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x,
  • F'(x) é a derivada buscada.
Intuição curta e amiga: primeiro baixa o expoente multiplicando na frente (isso vem da regra da potência), depois multiplica pela derivada da parte de dentro porque a parte de dentro também depende de x — isso é a chamada regra da cadeia. Na prova, quando você vê algo como " ... ao expoente", já pensa nessa receita: baixa o expoente e multiplica pela derivada do que está dentro.
Também usamos a regra do fator constante e a regra da potência simples para funções polinomiais:
  • Regra do fator constante: se v(x)=a\cdot w(x) com a constante, então v'(x)=a\cdot w'(x).
  • Derivada de x^{2}: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 3

Identificando as peças na nossa função:
u(x)=3x^{2}+1,\qquad n=4.
Agora calculamos u'(x). Usando a regra do fator constante e a derivada de x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3\cdot(2x)=6x.
A derivada de 1 é 0. Portanto
u'(x)=6x+0=6x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da regra da potência/da cadeia:
f'(x)=4\bigl(u(x)\bigr)^{4-1}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=3x^{2}+1 e u'(x)=6x:
f'(x)=4\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{3}\cdot 6x.
Multiplicando os coeficientes 4 e 6x:
4\cdot 6x = 24x,
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f'(x)=24x\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{3}.

Passo 5

Dicas finais para a prova (curtas e práticas):
  • Deixe a resposta na forma fatorada \;24x(3x^{2}+1)^{3}\;. É limpa e rápida de obter.
  • Verificação rápida: em x=0 f'(0)=0 porque o fator x zera a derivada — bom para checar consistência mental.
  • Se pedirem, pode-se também desenvolver o produto, mas isso é geralmente desnecessário e trabalhoso.

Resposta

24x\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{3}

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