Calcule
:
2.
2.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma composição de uma função interior
elevada à potência . - A pergunta é: calcular
, ou seja, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos relembrar as regras de derivação que vamos usar (a explicação é detalhada para você entender bem e aplicar na prova).
Regra do expoente (regra da potência) para uma função do tipo
:
Aqui:
-
é uma função qualquer de (a “parte de dentro”), -
é um número real (o expoente), -
é a derivada de em relação a , -
é a derivada buscada.
Intuição curta e amiga: primeiro baixa o expoente multiplicando na frente (isso vem da regra da potência), depois multiplica pela derivada da parte de dentro porque a parte de dentro também depende de
— isso é a chamada regra da cadeia. Na prova, quando você vê algo como "
ao expoente", já pensa nessa receita: baixa o expoente e multiplica pela derivada do que está dentro.
Também usamos a regra do fator constante e a regra da potência simples para funções polinomiais:
- Regra do fator constante: se
com constante, então . - Derivada de
: .
Passo 3
Identificando as peças na nossa função:
Agora calculamos
. Usando a regra do fator constante e a derivada de
:
A derivada de
é
. Portanto
Passo 4
Aplicando a fórmula da regra da potência/da cadeia:
Substituindo
e
:
Multiplicando os coeficientes
e
:
logo
Passo 5
Dicas finais para a prova (curtas e práticas):
- Deixe a resposta na forma fatorada
. É limpa e rápida de obter. - Verificação rápida: em
dá porque o fator zera a derivada — bom para checar consistência mental. - Se pedirem, pode-se também desenvolver o produto, mas isso é geralmente desnecessário e trabalhoso.