Calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}
O conteúdo central é a regra da potência, que diz que, para g(x)=x^{n}, vale
g'(x)=n\,x^{n-1}.
Vamos usar também propriedades de potência para reescrever as raízes como expoentes.

Passo 2

Reescrevemos cada termo de f(x) com potências:
- \sqrt{x}=x^{\tfrac12}.
- \sqrt[3]{x^{4}}=(x^{4})^{\tfrac13}=x^{\tfrac43}, logo
\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}=x^{-\tfrac43}.
Assim
f(x)=x^{\tfrac12}+x^{-\tfrac43}.

Passo 3

Aplicando a regra da potência em cada termo:
- A derivada de x^{\tfrac12} é \tfrac12\,x^{\tfrac12-1}=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}.
- A derivada de x^{-\tfrac43} é -\tfrac43\,x^{-\tfrac43-1}=-\tfrac43\,x^{-\tfrac73}.
Portanto,
f'(x)=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}-\tfrac43\,x^{-\tfrac73}.

Passo 4

Voltando para forma de radicais, temos:
x^{-\tfrac12}=\frac{1}{\sqrt{x}} \quad\text{e}\quad x^{-\tfrac73}=\frac{1}{x^{\tfrac73}}=\frac{1}{\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{7}}.
Logo
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{3\,x^{7/3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{3\,x^{7/3}}.

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