Calcule f^{\prime \prime}(x) das seguintes funções:
f(x)=\boldsymbol{e}^{1-x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{1-x} e pede para calcular f^{\prime\prime}(x), ou seja, a segunda derivada de f. Informações relevantes:
  • A função a ser derivada é \;f(x)=e^{1-x}.
  • Precisamos encontrar f'(x) e depois f''(x).

Passo 2

Regra que vamos usar (explicada passo a passo): se \;g(x)=e^{u(x)} com u diferenciável, então a derivada de g é dada pela regra da cadeia:
g'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}
O que isso significa: primeiro calcula-se a derivada u'(x) da função que está no expoente; depois multiplica-se essa derivada por e^{u(x)}. Exemplo simples para fixar: se u(x)=ax com a constante, então u'(x)=a e
\frac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}.

Passo 3

Identificar a função interna no nosso caso: \;u(x)=1-x.
Calcular a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}(1-x)=-1.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter a primeira derivada f'(x). Usando u'(x)=-1 e u(x)=1-x:
f'(x)=u'(x)\,e^{u(x)} = -1\cdot e^{1-x} = -e^{1-x}.

Passo 5

Calcular a segunda derivada f''(x) derivando f'(x)=-e^{1-x}. Podemos tratar o sinal -1 como constante e aplicar a regra da cadeia novamente:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-e^{1-x}\bigr) = -\frac{d}{dx}\bigl(e^{1-x}\bigr).
Usando a regra da cadeia para \frac{d}{dx}e^{1-x} (já sabemos que dá -1\cdot e^{1-x}), obtemos
f''(x) = -\bigl(-1\cdot e^{1-x}\bigr) = e^{1-x}.

Resposta

f^{\prime\prime}(x)=e^{1-x}

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