Calcule f^{\prime \prime}(x) das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada segunda da função \!f(x)=\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \!f(x)=\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr).
  • Domínio da função: todos os reais, pois \!x^{2}+1>0 para todo \!x\in\mathbb{R}.
  • O pedido é: encontrar \!f''(x) (a segunda derivada em função de \!x).

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada primeira \!f'(x). Vou usar a regra da cadeia para logaritmos: se \!f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), então
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui tome \!u(x)=x^{2}+1. Então \!u'(x)=2x. Aplicando a fórmula,
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Comentário simples: a derivada do logaritmo transforma o problema em dividir a derivada do interior pela própria função interior — por isso apareceu \!2x sobre \!x^{2}+1.

Passo 3

Agora calculamos \!f''(x), a derivada de \!f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}. Posso fazer isso usando a regra do produto escrevendo \!f'(x)=2x\cdot (x^{2}+1)^{-1} e aplicando a regra do produto + cadeia. Lembrete das regras que vou usar:
  • Regra do produto: se \!h(x)=p(x)q(x), então \!h'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
  • Regra da cadeia (usada para (x^{2}+1)^{-1}): se \!v(x)=(x^{2}+1)^{-1}, então \!v'(x)=-1\cdot(x^{2}+1)^{-2}\cdot(2x).
Defina \!p(x)=2x e \!q(x)=(x^{2}+1)^{-1}. Então \!p'(x)=2 e, usando a cadeia, \!q'(x)=-2x\,(x^{2}+1)^{-2}. Aplicando a regra do produto,
\begin{aligned} f''(x)&=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)\\[4pt] &=2\cdot (x^{2}+1)^{-1} + 2x\cdot\bigl(-2x\,(x^{2}+1)^{-2}\bigr). \end{aligned}]

Passo 4

Simplificamos a expressão obtida:
f''(x)=\frac{2}{x^{2}+1} - \frac{4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Vamos colocar em um único denominador (x^{2}+1)^{2}:
f''(x)=\frac{2(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}} - \frac{4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2x^{2}+2-4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
No numerador: 2x^{2}+2-4x^{2}=2-2x^{2}=2(1-x^{2}). Assim
f''(x)=\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

\displaystyle f''(x)=\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}

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