Calcule
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada segunda da função
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Domínio da função: todos os reais, pois
para todo . - O pedido é: encontrar
(a segunda derivada em função de ).
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada primeira
. Vou usar a regra da cadeia para logaritmos: se
, então
Aqui tome
. Então
. Aplicando a fórmula,
Comentário simples: a derivada do logaritmo transforma o problema em dividir a derivada do interior pela própria função interior — por isso apareceu
sobre
.
Passo 3
Agora calculamos
, a derivada de
. Posso fazer isso usando a regra do produto escrevendo
e aplicando a regra do produto + cadeia. Lembrete das regras que vou usar:
- Regra do produto: se
, então . - Regra da cadeia (usada para
): se , então .
Defina
e
. Então
e, usando a cadeia,
. Aplicando a regra do produto,
Passo 4
Simplificamos a expressão obtida:
Vamos colocar em um único denominador
:
No numerador:
. Assim