Calcule
, usando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações relevantes dadas:
- A função exterior é a arcocotangente aplicada a uma expressão.
- A função interior é
. - O domínio natural da função (para que
faça sentido) é .
Observação: a derivada só estará bem definida nos pontos do domínio em que não ocorrem divisões por zero; isso será verificado durante a resolução.
Passo 2
Regra fundamental que vamos usar (regra da cadeia): se
, então
Explicando: derivar uma composição consiste em derivar a função externa avaliando-a na função interna, e multiplicar pelo derivado da função interna. Cada símbolo significa:
-
é a função externa (dependendo de uma variável genérica). -
é a função interna (que depende de ). -
é a derivada de em sua variável. -
é a derivada de em .
Passo 3
Identificamos as funções internas e externas:
- Função externa
. - Função interna
.
Assim
Passo 4
Derivada da função externa
.
Uma forma rápida de lembrar a derivada é usar a relação
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Como
, segue
Portanto
Passo 5
Derivada da função interna
.
Usamos a regra da potência combinada com a regra da cadeia (pois
é a “parte interna” de uma potência):
Simplificando os fatores
:
Explicação: a regra da potência diz que
. Aqui
e
, com
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
e
e
:
Agora simplificamos o denominador do primeiro fator:
Logo
Cancelando um fator
(lembrando que no domínio de interesse
temos
):
Passo 7
Verificação do domínio da derivada:
- A expressão final
exige e . - Portanto a derivada está definida para
. Nos pontos a raiz é zero e a derivada não existe (divisão por zero).
Pequeno exemplo numérico para checar: para
,