Calcule f^{\prime}(x), usando a regra da cadeia:
f(x)=\operatorname{arccotg}\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função
f(x)=\operatorname{arccotg}\!\big(\sqrt{x^{2}-1}\,\big).
Informações relevantes dadas:
  • A função exterior é a arcocotangente aplicada a uma expressão.
  • A função interior é \sqrt{x^{2}-1}.
  • O domínio natural da função (para que \sqrt{x^{2}-1} faça sentido) é |x|\ge 1.
    Observação: a derivada só estará bem definida nos pontos do domínio em que não ocorrem divisões por zero; isso será verificado durante a resolução.

Passo 2

Regra fundamental que vamos usar (regra da cadeia): se F(x)=H(G(x)), então
F'(x)=H'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Explicando: derivar uma composição consiste em derivar a função externa avaliando-a na função interna, e multiplicar pelo derivado da função interna. Cada símbolo significa:
  • H é a função externa (dependendo de uma variável genérica).
  • G é a função interna (que depende de x).
  • H' é a derivada de H em sua variável.
  • G' é a derivada de G em x.

Passo 3

Identificamos as funções internas e externas:
  • Função externa H(u)=\operatorname{arccotg}(u).
  • Função interna G(x)=\sqrt{x^{2}-1}=(x^{2}-1)^{1/2}.
    Assim
f(x)=H\big(G(x)\big).

Passo 4

Derivada da função externa H(u)=\operatorname{arccotg}(u).
Uma forma rápida de lembrar a derivada é usar a relação \operatorname{arccotg}(u)+\arctan(u)=\dfrac{\pi}{2}. Derivando ambos os lados em relação a u obtemos
\frac{d}{du}\operatorname{arccotg}(u)+\frac{d}{du}\arctan(u)=0.
Como \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}, segue
\frac{d}{du}\operatorname{arccotg}(u)=-\frac{1}{1+u^{2}}.
Portanto
H'(u)=-\frac{1}{1+u^{2}}.

Passo 5

Derivada da função interna G(x)=(x^{2}-1)^{1/2}.
Usamos a regra da potência combinada com a regra da cadeia (pois x^{2}-1 é a “parte interna” de uma potência):
G'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2}\cdot(2x).
Simplificando os fatores 2:
G'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Explicação: a regra da potência diz que \dfrac{d}{dx} (u(x))^{n}=n\,(u(x))^{n-1}u'(x). Aqui n=\tfrac12 e u(x)=x^{2}-1, com u'(x)=2x.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=H'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Substituindo H' e G e G':
f'(x)=-\frac{1}{1+\big(\sqrt{x^{2}-1}\,\big)^{2}}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Agora simplificamos o denominador do primeiro fator:
1+\big(\sqrt{x^{2}-1}\,\big)^{2}=1+(x^{2}-1)=x^{2}.
Logo
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Cancelando um fator x (lembrando que no domínio de interesse |x|\ge1 temos x\neq0):
f'(x)=-\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 7

Verificação do domínio da derivada:
  • A expressão final -\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} exige \sqrt{x^{2}-1}\neq 0 e x\neq 0.
  • Portanto a derivada está definida para |x|>1. Nos pontos x=\pm1 a raiz é zero e a derivada não existe (divisão por zero).
Pequeno exemplo numérico para checar: para x=2,
f'(2)=-\frac{1}{2\sqrt{4-1}}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}.

Resposta

-\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}},\quad |x|>1

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