Calcule f^{\prime}(x), usando a regra da cadeia:
f(x)=\operatorname{arcsec}\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)

Passo 1

O que o problema pede: calcular f^{\prime}(x) para
f(x)=\operatorname{arcsec}\!\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função interna é \displaystyle u(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}.
  • A função externa é \operatorname{arcsec}(\cdot).
  • O enunciado pede a derivada usando regra da cadeia, isto é, calcular a derivada da composição f(x)=\operatorname{arcsec}(u(x)).
  • É importante lembrar que \operatorname{arcsec} tem requisitos sobre o argumento (não fica entre -1 e 1) e que a derivada de \operatorname{arcsec} envolve valores absolutos — trataremos disso na resolução.

Passo 2

Regra da cadeia e derivada de \operatorname{arcsec}: ideia e fórmula.
  • Se f(x)=\operatorname{arcsec}(u(x)), pela regra da cadeia
f'(x)=\left(\operatorname{arcsec}(u)\right)'\Big|_{u=u(x)}\cdot u'(x).
  • Vamos obter a derivada de \operatorname{arcsec}(u) em função de u. Faça a substituição y=\operatorname{arcsec}(u). Então por definição \operatorname{sec} y = u.
  • Diferenciando implicitamente em relação a x: \operatorname{sec} y \tan y \cdot \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx}. Assim
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du/dx}{\operatorname{sec} y \tan y}.
  • Substituindo \operatorname{sec} y = u e usando \tan y=\pm\sqrt{\operatorname{sec}^{2}y-1}=\pm\sqrt{u^{2}-1}, obtemos em módulo a fórmula clássica (para evitar problemas de sinal em \tan e \operatorname{sec}):
\left(\operatorname{arcsec}(u)\right)'=\dfrac{1}{|u|\sqrt{u^{2}-1}}.
Explicação curta do |u|: como \operatorname{sec} y = u e \operatorname{sec} y pode ser positivo ou negativo, e \operatorname{sec} y\tan y tem sinal que depende de y, a expressão correta, que funciona independentemente do sinal de u, envolve |u| no denominador.
Portanto, pela regra da cadeia:
f'(x)=\dfrac{u'(x)}{|u(x)|\sqrt{u(x)^{2}-1}}.

Passo 3

Calcular u'(x) para u(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1} usando regra do quociente.
  • A regra do quociente diz que, para u=\dfrac{p}{q}, u'=\dfrac{p'q-pq'}{q^{2}}.
  • Aqui p(x)=x^{2}+1 e q(x)=x^{2}-1. Então p'(x)=2x e q'(x)=2x.
  • Aplicando:
u'(x)=\dfrac{2x(x^{2}-1)-(x^{2}+1)2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
  • Simplificando o numerador:
2x(x^{2}-1)-2x(x^{2}+1)=2x\bigl((x^{2}-1)-(x^{2}+1)\bigr)=2x(-2)=-4x.
  • Logo
u'(x)=\dfrac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 4

Calcular |u(x)|\sqrt{u(x)^{2}-1} em termos de x para poder simplificar f'(x).
  • Primeiro escrevemos u(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}. Note que x^{2}+1>0 sempre.
  • Então |u(x)|=\dfrac{x^{2}+1}{|x^{2}-1|}.
  • Agora calcule u(x)^{2}-1:
u(x)^{2}-1=\left(\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{2}-1 =\dfrac{(x^{2}+1)^{2}-(x^{2}-1)^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}.
  • No numerador temos diferença de quadrados. Usando (a^{2}-b^{2})=(a-b)(a+b) com a=x^{2}+1, b=x^{2}-1:
(a-b)(a+b)=(2)(2x^{2})=4x^{2}.
  • Portanto
u(x)^{2}-1=\dfrac{4x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}.
  • Logo
\sqrt{u(x)^{2}-1}=\sqrt{\dfrac{4x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}}=\dfrac{2|x|}{|x^{2}-1|}.
  • Multiplicando |u(x)| por \sqrt{u(x)^{2}-1}:
|u(x)|\sqrt{u(x)^{2}-1}=\dfrac{x^{2}+1}{|x^{2}-1|}\cdot\dfrac{2|x|}{|x^{2}-1|} =\dfrac{2|x|(x^{2}+1)}{|x^{2}-1|^{2}}.

Passo 5

Substituir u'(x) e a expressão do denominador em f'(x)=\dfrac{u'(x)}{|u|\sqrt{u^{2}-1}} e simplificar.
  • Substituindo:
f'(x)=\dfrac{-4x/(x^{2}-1)^{2}}{\,2|x|(x^{2}+1)/|x^{2}-1|^{2}\,}.
  • Observe que (x^{2}-1)^{2}=|x^{2}-1|^{2}, então esses fatores se cancelam. Após cancelar:
f'(x)=\dfrac{-4x}{2|x|(x^{2}+1)}=\dfrac{-2x}{|x|(x^{2}+1)}.
  • Podemos escriturar essa forma com a função sinal \operatorname{sgn}(x)=\dfrac{x}{|x|} (para x\neq 0):
f'(x)=-\dfrac{2\,\operatorname{sgn}(x)}{x^{2}+1}.
  • Ou, de forma equivalente e mais explícita em termos de casos:
f'(x)=\begin{cases} -\dfrac{2}{x^{2}+1}, & x>0,\\[6pt] \dfrac{2}{x^{2}+1}, & x<0. \end{cases}]

Passo 6

Comentários sobre domínio e pontos excluídos:
  • A função original f(x) não está definida quando x^{2}-1=0, isto é, em x=\pm 1 (divisão por zero em u(x)). Esses pontos ficam fora do domínio.
  • Em x=0 tem-se u(0)=-1, e aí u^{2}-1=0 causando denominador zero na fórmula da derivada (a raiz fica zero). Portanto a derivada não existe em x=0.
  • A expressão final para f'(x) que obtivemos vale para todo x do domínio de f exceto x=0; de maneira prática pode ser escrita para x\neq 0,\pm 1 como acima. A forma por casos já exclui x=0.

Resposta

f'(x)= -\dfrac{2x}{|x|\,(x^{2}+1)}=\begin{cases} -\dfrac{2}{x^{2}+1}, & x>0,\\[6pt] \dfrac{2}{x^{2}+1}, & x<0, \end{cases}\quad\text{(válido para }x\neq 0,\pm 1\text{)}á]

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