A função interna é \displaystyle u(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}.
A função externa é \operatorname{arcsec}(\cdot).
O enunciado pede a derivada usando regra da cadeia, isto é, calcular a derivada da composição f(x)=\operatorname{arcsec}(u(x)).
É importante lembrar que \operatorname{arcsec} tem requisitos sobre o argumento (não fica entre -1 e 1) e que a derivada de \operatorname{arcsec} envolve valores absolutos — trataremos disso na resolução.
Passo 2
Regra da cadeia e derivada de \operatorname{arcsec}: ideia e fórmula.
Se f(x)=\operatorname{arcsec}(u(x)), pela regra da cadeia
Vamos obter a derivada de \operatorname{arcsec}(u) em função de u. Faça a substituição y=\operatorname{arcsec}(u). Então por definição \operatorname{sec} y = u.
Diferenciando implicitamente em relação a x: \operatorname{sec} y \tan y \cdot \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx}. Assim
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du/dx}{\operatorname{sec} y \tan y}.
Substituindo \operatorname{sec} y = u e usando \tan y=\pm\sqrt{\operatorname{sec}^{2}y-1}=\pm\sqrt{u^{2}-1}, obtemos em módulo a fórmula clássica (para evitar problemas de sinal em \tan e \operatorname{sec}):
Explicação curta do |u|: como \operatorname{sec} y = u e \operatorname{sec} y pode ser positivo ou negativo, e \operatorname{sec} y\tan y tem sinal que depende de y, a expressão correta, que funciona independentemente do sinal de u, envolve |u| no denominador.
Portanto, pela regra da cadeia:
f'(x)=\dfrac{u'(x)}{|u(x)|\sqrt{u(x)^{2}-1}}.
Passo 3
Calcular u'(x) para u(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1} usando regra do quociente.
A regra do quociente diz que, para u=\dfrac{p}{q}, u'=\dfrac{p'q-pq'}{q^{2}}.
Aqui p(x)=x^{2}+1 e q(x)=x^{2}-1. Então p'(x)=2x e q'(x)=2x.
A função original f(x) não está definida quando x^{2}-1=0, isto é, em x=\pm 1 (divisão por zero em u(x)). Esses pontos ficam fora do domínio.
Em x=0 tem-se u(0)=-1, e aí u^{2}-1=0 causando denominador zero na fórmula da derivada (a raiz fica zero). Portanto a derivada não existe em x=0.
A expressão final para f'(x) que obtivemos vale para todo x do domínio de f exceto x=0; de maneira prática pode ser escrita para x\neq 0,\pm 1 como acima. A forma por casos já exclui x=0.