Calcule f(x) em que f(x) é igual a \frac{x+1}{x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+1}{x\operatorname{sen} x}
e pede que eu “calcule” f(x). Vou entender isso como: (a) escrever a expressão da função (já dada), (b) determinar o domínio onde f está definida e (c) estudar o comportamento nos pontos problemáticos (onde o denominador é zero) — isto é o que normalmente se espera quando pedem para “calcular” uma função que tem singularidades. As informações relevantes são:
  • A expressão da função é \dfrac{x+1}{x\operatorname{sen} x}.
  • O denominador é x\operatorname{sen} x, que pode ser zero para certos x.

Passo 2

Determinar o domínio: precisamos excluir os x tais que o denominador seja zero. Então resolvemos
x\operatorname{sen} x=0.
Essa igualdade ocorre quando x=0 ou quando \operatorname{sen} x=0. Sabendo que \operatorname{sen} x=0 se e somente se x=k\pi com k\in\mathbb{Z}, temos que os pontos com denominador zero são exatamente x=k\pi (essa lista já inclui x=0 com k=0). Portanto o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{k\pi:\;k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 3

Estudo do comportamento próximo a x=0 (caso interessante porque aí tanto x quanto \operatorname{sen} x tendem a zero).
Usamos a aproximação (série de Taylor de ordem 3)
\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\quad\text{quando }x\to0.
Multiplicando por x,
x\operatorname{sen} x = x\left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right)=x^2 - \frac{x^4}{6} + o(x^4).
Logo, para x muito pequeno, x\operatorname{sen} x\sim x^2 (o termo dominante é x^2). Assim
f(x)=\frac{x+1}{x\operatorname{sen} x}\sim\frac{1}{x^2}\quad\text{quando }x\to0,
porque x+1\to1. Portanto f(x) diverge para +\infty quando x\to0 (tanto pela direita quanto pela esquerda), já que 1/x^2\to+\infty.

Passo 4

Comportamento próximo a um ponto x=n\pi com n\in\mathbb{Z} e n\neq0.
Escrevemos x=n\pi+h com h\to0. Usando expansão de seno em torno de n\pi,
\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(n\pi+h)=(-1)^n h + o(h).
Então, para n\neq0,
x\operatorname{sen} x=(n\pi+h)\big((-1)^n h + o(h)\big)=(-1)^n n\pi\,h + o(h).
O numerador em x=n\pi+h vale x+1=n\pi+1+h, que tende para n\pi+1 (um número finito e não nulo em geral). Portanto, ao aproximar x de n\pi temos
f(x)=\frac{n\pi+1+o(1)}{(-1)^n n\pi\,h + o(h)}\sim\frac{n\pi+1}{(-1)^n n\pi}\cdot\frac{1}{h}.
Isso mostra que f(x) diverge com ordem 1/h quando x\to n\pi: ou seja, há uma assimptota vertical em cada x=n\pi e o valor diverge para +\infty ou -\infty dependendo do sinal de \dfrac{n\pi+1}{(-1)^n n\pi} e do lado pelo qual h tende a 0. Em particular:
  • Para n>0 e h\to0^+ o sinal da divergência é o sinal de \dfrac{n\pi+1}{(-1)^n n\pi}.
  • Para n=0 já vimos que a divergência é +\infty.
Se quiser um exemplo concreto: para n=1 (próximo a x=\pi),
f(x)\sim\frac{\pi+1}{(-1)^1\pi}\cdot\frac{1}{h}=-\frac{\pi+1}{\pi}\cdot\frac{1}{h},
logo à direita de \pi ( h>0) f(x)\to -\infty e à esquerda ( h<0) f(x)\to +\infty.

Passo 5

Comportamento para |x|\to\infty. Podemos reescrever
f(x)=\frac{x+1}{x\operatorname{sen} x}=\frac{1}{\operatorname{sen} x}+\frac{1}{x\operatorname{sen} x}.
O termo \dfrac{1}{x\operatorname{sen} x} tende a 0 quando |x|\to\infty (porque tem 1/x multiplicando algo limitado), mas o termo \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} não tem limite quando x\to\infty porque \operatorname{sen} x oscila entre -1 e 1 e atinge valores arbitrariamente próximos de 0 (fazendo \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} divergir). Portanto f(x) não tem limite quando |x|\to\infty; a função oscila e tem regiões de grandes valores próximos a pontos onde \operatorname{sen} x está próximo de zero.

Passo 6

Resumo prático (o que você precisa gravar para a prova):
  • A expressão da função é \displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x\operatorname{sen} x}.
  • Domínio: \displaystyle \text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{k\pi:\;k\in\mathbb{Z}\}.
  • Em cada x=k\pi há uma assimptota vertical; em particular \lim_{x\to0}f(x)=+\infty.
  • Para n\neq0, \lim_{x\to n\pi}f(x)=\pm\infty (diverge), com sinal determinado pela expansão mostrada no Passo 4.
  • Não existe limite quando x\to\pm\infty (a função oscila e fica arbitrariamente grande próximo de zeros do seno).

Resposta

\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{k\pi:\;k\in\mathbb{Z}\}
\lim_{x\to0}f(x)=+\infty
Para todo n\in\mathbb{Z} tem-se assimptota vertical em x=n\pi (isto é, \lim_{x\to n\pi}f(x)=\pm\infty).

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