Calcule
em que
é igual a
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu “calcule”
. Vou entender isso como: (a) escrever a expressão da função (já dada), (b) determinar o domínio onde
está definida e (c) estudar o comportamento nos pontos problemáticos (onde o denominador é zero) — isto é o que normalmente se espera quando pedem para “calcular” uma função que tem singularidades. As informações relevantes são:
- A expressão da função é
. - O denominador é
, que pode ser zero para certos .
Passo 2
Determinar o domínio: precisamos excluir os
tais que o denominador seja zero. Então resolvemos
Essa igualdade ocorre quando
ou quando
. Sabendo que
se e somente se
com
, temos que os pontos com denominador zero são exatamente
(essa lista já inclui
com
). Portanto o domínio é
Passo 3
Estudo do comportamento próximo a
(caso interessante porque aí tanto
quanto
tendem a zero).
Usamos a aproximação (série de Taylor de ordem 3)
Usamos a aproximação (série de Taylor de ordem 3)
Multiplicando por
,
Logo, para
muito pequeno,
(o termo dominante é
). Assim
porque
. Portanto
diverge para
quando
(tanto pela direita quanto pela esquerda), já que
.
Passo 4
Comportamento próximo a um ponto
com
e
.
Escrevemos com
. Usando expansão de seno em torno de
,
Escrevemos
Então, para
,
O numerador em
vale
, que tende para
(um número finito e não nulo em geral). Portanto, ao aproximar
de
temos
Isso mostra que
diverge com ordem
quando
: ou seja, há uma assimptota vertical em cada
e o valor diverge para
ou
dependendo do sinal de
e do lado pelo qual
tende a
. Em particular:
- Para
e o sinal da divergência é o sinal de . - Para
já vimos que a divergência é .
Se quiser um exemplo concreto: para
(próximo a
),
logo à direita de
(
)
e à esquerda (
)
.
Passo 5
Comportamento para
. Podemos reescrever
O termo
tende a
quando
(porque tem
multiplicando algo limitado), mas o termo
não tem limite quando
porque
oscila entre
e
e atinge valores arbitrariamente próximos de
(fazendo
divergir). Portanto
não tem limite quando
; a função oscila e tem regiões de grandes valores próximos a pontos onde
está próximo de zero.
Passo 6
Resumo prático (o que você precisa gravar para a prova):
- A expressão da função é
. - Domínio:
. - Em cada
há uma assimptota vertical; em particular . - Para
, (diverge), com sinal determinado pela expansão mostrada no Passo 4. - Não existe limite quando
(a função oscila e fica arbitrariamente grande próximo de zeros do seno).
Resposta
Para todo