Calcule f(x). f(x)=e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado fornece a função \,f(x)=e^{x}\cos x\, e pede: "Calcule f(x)". As informações relevantes são:
  • a expressão da função é \,f(x)=e^{x}\cos x.

Passo 2

Interpreto que a tarefa é calcular a derivada de f (isto é uma pergunta comum com esse tipo de enunciado). Vou então calcular f'(x). Vou usar regras básicas de derivação que são rápidas e diretas — nada de fórmulas esquisitas.

Passo 3

Recordando a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
( u\,v )' = u'\,v + u\,v'.
Aqui u' significa a derivada de u em relação a x, e v' a derivada de v em relação a x. Essa regra é só a aplicação da definição de derivada seguida de álgebra — na prática é uma fórmula que memorizamos e usamos direto.

Passo 4

Identifico as “partes” do produto na nossa função:
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=\cos x.
Agora calculo as derivadas das partes (relembrando duas regras simples):
  • A derivada de \,e^{x} é \,e^{x}. Ou seja,
u'(x)=(e^{x})'=e^{x}.
  • A derivada de \cos x é -\sin x. Ou seja,
v'(x)=(\cos x)'=-\sin x.

Passo 5

Aplico a regra do produto substituindo u, v, u' e v':
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=e^{x}\cos x + e^{x}(-\sin x).
Fazendo a pequena simplificação algébrica (somar os termos semelhantes):
f'(x)=e^{x}\cos x - e^{x}\sin x.
Dica rápida para a prova: é comum e prático fatorar e^{x} (pois aparece em ambos os termos) para escrever a resposta de forma mais compacta; eu deixo a forma final clara na seção de resposta.

Resposta

f'(x)=e^{x}(\cos x - \sin x)

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