Calcule f(x) em que f(x) é igual a
x \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado fornece a função f definida por f(x)=x\operatorname{sen} x. Ou seja:
  • Informação dada: f(x)=x\operatorname{sen} x.
  • O pedido original é "Calcule f(x)". Como isso fica um pouco vago (às vezes pedem a derivada, às vezes a primitiva), aqui vou calcular duas coisas úteis que costumam ser pedidas em provas: a derivada f'(x) e uma primitiva (antiderivada) F(x) tal que F'(x)=f(x). Se o que você queria era só uma delas, tranquilo — ambas aparecem abaixo e você confere rapidinho.

Passo 2

Queremos a derivada f'(x). A função é produto de duas funções: u(x)=x e v(x)=\operatorname{sen} x. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
(uv)' = u'v + uv'.
Explicando bem: a derivada do produto é a soma de duas parcelas — a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda. Isso vem da definição de derivada e pode ser demonstrado, mas na prova normalmente usa-se a regra já conhecida.
Aqui:
  • u(x)=x \Rightarrow u'(x)=1.
  • v(x)=\operatorname{sen} x \Rightarrow v'(x)=\cos x.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot\operatorname{sen} x + x\cdot\cos x.
Portanto
f'(x)=\operatorname{sen} x + x\cos x.

Passo 3

Pequeno exemplo para fixar: se quiser avaliar a derivada em x=0, basta substituir:
f'(0)=\operatorname{sen} 0 + 0\cdot\cos 0 = 0 + 0 = 0.
Isso mostra que a inclinação da curva y=x\operatorname{sen} x em x=0 é 0.

Passo 4

Agora vamos achar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=x\operatorname{sen} x. Para integrar um produto como x\operatorname{sen} x é comum usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas que fazemos a partir do integrando; du é a derivada de u e v é uma antiderivada de dv.
Escolha prática:
  • u=x \Rightarrow du=dx.
  • dv=\operatorname{sen} x\,dx \Rightarrow v=\int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x.
Aplicando a fórmula:
\int x\operatorname{sen} x\,dx = u v - \int v\,du = x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx.
Simplificando:
\int x\operatorname{sen} x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen} x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (boa prática): derivando F(x)=-x\cos x + \operatorname{sen} x deve voltar para x\operatorname{sen} x.
Calcule F'(x):
  • Derivada de -x\cos x (regra do produto): -1\cdot\cos x + (-x)\cdot(-\sin x) = -\cos x + x\sin x.
  • Derivada de \operatorname{sen} x é \cos x.
Somando: (- \cos x + x\sin x) + \cos x = x\sin x. Certo — funciona.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sen} x + x\cos x
\displaystyle \int f(x)\,dx = \int x\operatorname{sen} x\,dx = -x\cos x + \operatorname{sen} x + C

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