Calcule
em que
é igual a
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida por
. Ou seja:
- Informação dada:
. - O pedido original é "Calcule
". Como isso fica um pouco vago (às vezes pedem a derivada, às vezes a primitiva), aqui vou calcular duas coisas úteis que costumam ser pedidas em provas: a derivada e uma primitiva (antiderivada) tal que . Se o que você queria era só uma delas, tranquilo — ambas aparecem abaixo e você confere rapidinho.
Passo 2
Queremos a derivada
. A função é produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
Explicando bem: a derivada do produto é a soma de duas parcelas — a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda. Isso vem da definição de derivada e pode ser demonstrado, mas na prova normalmente usa-se a regra já conhecida.
Aqui:
-
. -
.
Aplicando a regra do produto:
Portanto
Passo 3
Pequeno exemplo para fixar: se quiser avaliar a derivada em
, basta substituir:
Isso mostra que a inclinação da curva
em
é
.
Passo 4
Agora vamos achar uma primitiva
tal que
. Para integrar um produto como
é comum usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
onde
e
são escolhas que fazemos a partir do integrando;
é a derivada de
e
é uma antiderivada de
.
Escolha prática:
-
. -
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (boa prática): derivando
deve voltar para
.
Calcule
:
- Derivada de
(regra do produto): . - Derivada de
é .
Somando:
. Certo — funciona.