Calcule:
\int \sqrt{1-9 x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \sqrt{1-9x^{2}}\,dx.
Informações dadas que usaremos: a expressão sob a raiz é do tipo \,1-(3x)^{2}\,, ou seja \,a^{2}-u^{2}\, com a=1 e u=3x. O objetivo final é encontrar uma antiderivada (qualquer primitiva) da função \sqrt{1-9x^{2}}.

Passo 2

Escolha do método (explicando de maneira simples): quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}-u^{2}} (aqui a=1 e u=3x), uma técnica padrão muito útil é a substituição trigonométrica. A ideia é usar uma variável trigonométrica que transforme a diferença de quadrados em coisa mais simples (por exemplo, usar seno para fazer 1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta). Vou aplicar essa substituição porque ela simplifica completamente a raiz e deixa a integral tratável à mão.

Passo 3

Fazer a substituição trigonométrica e transformar a integral. Escolho
x=\frac{1}{3}\sin\theta.
Agora calculo o diferencial dx e a expressão dentro da raiz:
dx=\frac{1}{3}\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{1-9x^{2}}=\sqrt{1-9\left(\frac{1}{3}\sin\theta\right)^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta,
onde tomei \cos\theta\ge0 ao fixar um ramo (padrão: \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]). Substituindo na integral:
\int \sqrt{1-9x^{2}}\,dx =\int \cos\theta\cdot\left(\frac{1}{3}\cos\theta\,d\theta\right) =\frac{1}{3}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrar \cos^{2}\theta. Uso a identidade trigonométrica que facilita integrar quadrados:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Portanto
\int \cos^{2}\theta\,d\theta =\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\int 1\,d\theta+\frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin(2\theta)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar ao resultado com o fator \tfrac{1}{3}. Multiplicando:
\frac{1}{3}\int \cos^{2}\theta\,d\theta =\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin(2\theta)\right)+C =\frac{1}{6}\theta+\frac{1}{12}\sin(2\theta)+C.

Passo 6

Voltar à variável x. Temos da substituição inicial que
\sin\theta=3x\quad\Rightarrow\quad \theta=\arcsin(3x).
Preciso também escrever \sin(2\theta) em termos de x. Uso a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Como \sin\theta=3x e \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-9x^{2}}, obtemos
\sin(2\theta)=2\cdot(3x)\cdot\sqrt{1-9x^{2}}=6x\sqrt{1-9x^{2}}.
Substituindo em \frac{1}{6}\theta+\frac{1}{12}\sin(2\theta)
\frac{1}{6}\arcsin(3x)+\frac{1}{12}\cdot 6x\sqrt{1-9x^{2}}+\\ C =\frac{1}{6}\arcsin(3x)+\frac{1}{2}x\sqrt{1-9x^{2}}+C.

Passo 7

Resumo final e observação curta: a primitiva encontrada é
\frac{1}{2}x\sqrt{1-9x^{2}}+\frac{1}{6}\arcsin(3x)+C.
Pode-se verificar derivando: ao derivar essa expressão usando regra do produto e derivada de \arcsin, recupera-se \sqrt{1-9x^{2}}. Bom trabalho! Se quiser, eu mostro a verificação passo a passo também.

Resposta

\dfrac{1}{2}x\sqrt{1-9x^{2}}+\dfrac{1}{6}\arcsin(3x)+C

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