Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas que usaremos: a expressão sob a raiz é do tipo
, ou seja
com
e
. O objetivo final é encontrar uma antiderivada (qualquer primitiva) da função
.
Passo 2
Escolha do método (explicando de maneira simples): quando aparece uma raiz do tipo
(aqui
e
), uma técnica padrão muito útil é a substituição trigonométrica. A ideia é usar uma variável trigonométrica que transforme a diferença de quadrados em coisa mais simples (por exemplo, usar seno para fazer
). Vou aplicar essa substituição porque ela simplifica completamente a raiz e deixa a integral tratável à mão.
Passo 3
Fazer a substituição trigonométrica e transformar a integral. Escolho
Agora calculo o diferencial
e a expressão dentro da raiz:
onde tomei
ao fixar um ramo (padrão:
). Substituindo na integral:
Passo 4
Integrar
. Uso a identidade trigonométrica que facilita integrar quadrados:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar ao resultado com o fator
. Multiplicando:
Passo 6
Voltar à variável
. Temos da substituição inicial que
Preciso também escrever
em termos de
. Uso a identidade
. Como
e
, obtemos
Substituindo em
dá
Passo 7
Resumo final e observação curta: a primitiva encontrada é
Pode-se verificar derivando: ao derivar essa expressão usando regra do produto e derivada de
, recupera-se
. Bom trabalho! Se quiser, eu mostro a verificação passo a passo também.