1-Calcule o fator de empacotamento atômico da estrutura CFC e CCC

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o fator de empacotamento atômico (APF) das estruturas CFC e CCC.
Informações relevantes dadas (ou que usamos porque são padrão para esse tipo de problema):
  • Definimos a como a aresta da cela unitária e r como o raio atômico (esfera que representa um átomo).
  • Em uma célula CFC há átomos nos 8 cantos (cada um compartilhado por 8 células) e em 6 centros de faces (cada um compartilhado por 2 células).
  • Em uma célula CCC há átomos nos 8 cantos (cada um compartilhado por 8 células) e 1 átomo no centro da cela (inteiro da célula).
  • Geometrias que ligam a e r:
    • Para CFC: os átomos se tocam ao longo da diagonal da face, portanto usamos a relação \,a\sqrt{2}=4r\, (equivalente a a=2\sqrt{2}\,r).
    • Para CCC: os átomos se tocam ao longo da diagonal do corpo, portanto usamos a relação \,a\sqrt{3}=4r\, (equivalente a a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}).
  • O fator de empacotamento atômico (APF) é definido como a fração do volume da cela unitária ocupada pelas esferas atômicas.

Passo 2

Definição e fórmula geral que vamos usar:
  • Volume de uma esfera (um átomo): \dfrac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Número efetivo de átomos por cela unitária: chamaremos de N.
  • Volume da cela unitária cúbica: a^{3}.
  • Portanto o APF é
\text{APF}=\frac{N\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}}.
Aqui N depende do tipo de rede (CFC ou CCC), e a pode ser escrito em função de r pelas relações geométricas do passo 1. Vou explicar cada termo: r é o raio das esferas que modelam os átomos; a é a aresta do cubo que é a cela unitária; N é quantos átomos inteiros a célula contém quando se contabiliza a fração de cada átomo compartilhado com células vizinhas.

Passo 3

Contagem de átomos por cela para CFC (explicando a partilha):
  • Cantos: 8 cantos \times cada canto contribui com 1/8 do átomo \Rightarrow 8\cdot \tfrac{1}{8}=1.
  • Faces: 6 faces \times cada face contribui com 1/2 do átomo \Rightarrow 6\cdot \tfrac{1}{2}=3.
  • Total em CFC: N_{\text{CFC}}=1+3=4 átomos por cela.

Passo 4

Relacionamento geométrico entre a e r para CFC (detalhado):
  • Na diagonal de uma face do cubo temos três centros de átomos alinhados: canto — centro da face — canto.
  • Esses três átomos tocam sequencialmente, então a diagonal da face mede 4r.
  • A diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2}. Logo:
a\sqrt{2}=4r.
Isolando a:
a= \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.

Passo 5

Cálculo do APF para CFC (substituindo na fórmula geral e simplificando passo a passo):
  • Usamos N_{\text{CFC}}=4 e a=2\sqrt{2}\,r.
  • Volume ocupado por átomos na cela:
V_{\text{átomos}} = 4\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{16}{3}\pi r^{3}.á
  • Volume da cela:
a^{3} = (2\sqrt{2}\,r)^{3}.
Calculemos (2\sqrt{2})^{3}:
(2\sqrt{2})^{3} = 2^{3}\cdot (\sqrt{2})^{3} = 8\cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}.
Logo
a^{3} = 16\sqrt{2}\, r^{3}.
  • Substituindo na fórmula do APF:
\text{APF}_{\text{CFC}} = \frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\, r^{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
  • Valor numérico (convertendo para decimal e porcentagem):
\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048\approx 74{,}05\%.

Passo 6

Contagem de átomos por cela para CCC (BCC) (explicando a partilha):
  • Cantos: 8 cantos \times cada canto contribui com 1/8 do átomo \Rightarrow 8\cdot \tfrac{1}{8}=1.
  • Centro do corpo: 1 átomo inteiro dentro da cela \Rightarrow 1.
  • Total em CCC: N_{\text{CCC}}=1+1=2 átomos por cela.

Passo 7

Relacionamento geométrico entre a e r para CCC (detalhado):
  • Ao longo da diagonal do corpo do cubo (diagonal que vai de um canto ao canto oposto passando pelo centro), há três centros: canto — centro da cela — canto.
  • Esses três átomos se tocam, então a diagonal do corpo mede 4r.
  • A diagonal do corpo tem comprimento a\sqrt{3}. Logo:
a\sqrt{3}=4r.
Isolando a:
a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.

Passo 8

Cálculo do APF para CCC (substituindo na fórmula geral e simplificando passo a passo):
  • Usamos N_{\text{CCC}}=2 e a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}.
  • Volume ocupado por átomos na cela:
V_{\text{átomos}} = 2\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{8}{3}\pi r^{3}.á
  • Volume da cela:
a^{3} = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \frac{64}{(\sqrt{3})^{3}}\, r^{3} = \frac{64}{3\sqrt{3}}\, r^{3}.
  • Substituindo na fórmula do APF:
\text{APF}_{\text{CCC}} = \frac{\dfrac{8}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64}{3\sqrt{3}}\, r^{3}} = \frac{8\pi}{64}\sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8}.
  • Valor numérico (decimal e porcentagem):
\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}68017\approx 68{,}02\%.

Passo 9

Resumo rápido e motivação final (sem repetir apenas os números já limpos na resposta):
  • CFC (mais denso): APF é maior porque mais volume é ocupado pelas esferas dentro da cela.
  • CCC (menos denso que CFC, mas mais denso que redes simples): APF menor que CFC.
  • Você já tem as expressões exatas e os valores numéricos; na prova, memorize as relações geométricas a\sqrt{2}=4r (CFC) e a\sqrt{3}=4r (CCC) e a fórmula geral do APF — isso permite chegar rápido às respostas.

Resposta

\text{CFC: }\text{APF}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0,74048\;(74,05\%)
\text{CCC: }\text{APF}=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0,68017\;(68,02\%)

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