1-Calcule o fator de empacotamento atômico da estrutura CFC e CCC
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o fator de empacotamento atômico (APF) das estruturas CFC e CCC.
Informações relevantes dadas (ou que usamos porque são padrão para esse tipo de problema):
- Definimos
como a aresta da cela unitária e como o raio atômico (esfera que representa um átomo). - Em uma célula CFC há átomos nos 8 cantos (cada um compartilhado por 8 células) e em 6 centros de faces (cada um compartilhado por 2 células).
- Em uma célula CCC há átomos nos 8 cantos (cada um compartilhado por 8 células) e 1 átomo no centro da cela (inteiro da célula).
- Geometrias que ligam
e : - Para CFC: os átomos se tocam ao longo da diagonal da face, portanto usamos a relação
(equivalente a ). - Para CCC: os átomos se tocam ao longo da diagonal do corpo, portanto usamos a relação
(equivalente a ).
- Para CFC: os átomos se tocam ao longo da diagonal da face, portanto usamos a relação
- O fator de empacotamento atômico (APF) é definido como a fração do volume da cela unitária ocupada pelas esferas atômicas.
Passo 2
Definição e fórmula geral que vamos usar:
- Volume de uma esfera (um átomo):
. - Número efetivo de átomos por cela unitária: chamaremos de
. - Volume da cela unitária cúbica:
. - Portanto o APF é
Aqui
depende do tipo de rede (CFC ou CCC), e
pode ser escrito em função de
pelas relações geométricas do passo 1. Vou explicar cada termo:
é o raio das esferas que modelam os átomos;
é a aresta do cubo que é a cela unitária;
é quantos átomos inteiros a célula contém quando se contabiliza a fração de cada átomo compartilhado com células vizinhas.
Passo 3
Contagem de átomos por cela para CFC (explicando a partilha):
- Cantos: 8 cantos
cada canto contribui com do átomo . - Faces: 6 faces
cada face contribui com do átomo . - Total em CFC:
átomos por cela.
Passo 4
Relacionamento geométrico entre
e
para CFC (detalhado):
- Na diagonal de uma face do cubo temos três centros de átomos alinhados: canto — centro da face — canto.
- Esses três átomos tocam sequencialmente, então a diagonal da face mede
. - A diagonal da face tem comprimento
. Logo:
Isolando
:
Passo 5
Cálculo do APF para CFC (substituindo na fórmula geral e simplificando passo a passo):
- Usamos
e . - Volume ocupado por átomos na cela:
- Volume da cela:
Calculemos
:
Logo
- Substituindo na fórmula do APF:
- Valor numérico (convertendo para decimal e porcentagem):
Passo 6
Contagem de átomos por cela para CCC (BCC) (explicando a partilha):
- Cantos: 8 cantos
cada canto contribui com do átomo . - Centro do corpo: 1 átomo inteiro dentro da cela
. - Total em CCC:
átomos por cela.
Passo 7
Relacionamento geométrico entre
e
para CCC (detalhado):
- Ao longo da diagonal do corpo do cubo (diagonal que vai de um canto ao canto oposto passando pelo centro), há três centros: canto — centro da cela — canto.
- Esses três átomos se tocam, então a diagonal do corpo mede
. - A diagonal do corpo tem comprimento
. Logo:
Isolando
:
Passo 8
Cálculo do APF para CCC (substituindo na fórmula geral e simplificando passo a passo):
- Usamos
e . - Volume ocupado por átomos na cela:
- Volume da cela:
- Substituindo na fórmula do APF:
- Valor numérico (decimal e porcentagem):
Passo 9
Resumo rápido e motivação final (sem repetir apenas os números já limpos na resposta):
- CFC (mais denso): APF é maior porque mais volume é ocupado pelas esferas dentro da cela.
- CCC (menos denso que CFC, mas mais denso que redes simples): APF menor que CFC.
- Você já tem as expressões exatas e os valores numéricos; na prova, memorize as relações geométricas
(CFC) e (CCC) e a fórmula geral do APF — isso permite chegar rápido às respostas.