Represente os planos (111) e (110) na estrutura cúbica
Represente as direções [001], [111] e [010] na estrutura cúbica
O que você entende por fator de empacotamento atômico e do que depende?
Represente as direções [001], [111] e [010] na estrutura cúbica
O que você entende por fator de empacotamento atômico e do que depende?
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e a única informação explícita é que a estrutura é cúbica. Vou listar claramente as perguntas para não nos perder:
- Representar os planos
e na estrutura cúbica. - Representar as direções
, e na estrutura cúbica. - Explicar o que é fator de empacotamento atômico e de que ele depende.
Informações dadas (a usar): a rede é cúbica com parâmetro de rede
. Não há figura enviada, então vou explicar passo a passo como desenhar/visualizar cada plano e direção usando um cubo unitário com aresta
.
Passo 2
Conceito prático de índices de Miller (como usar para representar planos):
- Os índices de Miller
de um plano cristalino são obtidos a partir dos reciprocais dos pontos de interseção do plano com os eixos cristalográficos (em unidades da constante de rede ). - Regra prática: se um plano intercepta os eixos em
, então o plano é . Se um índice for zero (por ex. ), o plano é paralelo ao eixo correspondente (a interceptação é no infinito). - Em estruturas cúbicas, o vetor normal ao plano
é paralelo ao vetor . Isso facilita a representação visual: aponta na direção normal .
Passo 3
Como obter interceptos concretos para
e
:
- Fórmula direta: interceptos em coordenadas cartesianas (em unidades de
) são . - Para
: interceptos são . Ou seja, o plano passa pelos três pontos médios das arestas que tocam os vértices , , do sistema de eixos colocado na origem de um canto do cubo. - Para
: interceptos são (pois o índice ). Ou seja, o plano corta os eixos e em e é paralelo ao eixo : é o plano vertical que contém a aresta que liga e e é paralelo a .
Passo 4
Como desenhar/visualizar
num cubo unitário (passo a passo, sem figura):
- Escolha a origem no canto do cubo em
. As arestas do cubo vão até , , . - Marque os três pontos de interseção do plano:
, , . - Ligue esses três pontos por segmentos: o triângulo que liga
- - é uma seção plana que representa o plano atravessando o cubo (esse triângulo está inclinado e corta o cubo formando um triângulo no interior). - Observe que a normal a esse triângulo é o vetor
, ou seja, a direção corpo-diagonal do cubo.
Passo 5
Como desenhar/visualizar
num cubo unitário (passo a passo):
- Com a mesma origem
, marque os pontos e . - Note que
significa que o plano é paralelo ao eixo . Portanto, o plano passa verticalmente através desses dois pontos e corta todas as alturas (todas as linhas com arbitrário nas posições adequadas). - No cubo, isso aparece como um retângulo/losango (dependendo da seção que você olhar): a interseção com a face superior
terá também os pontos e . Assim, desenhe a face inclinada que contém as arestas ligando a e a . Em suma: é o plano que contém a diagonal da base e é paralelo a .
Passo 6
Resumo visual mental (dicas rápidas para a prova):
- Para
: pense na face triangular que liga os três pontos médios das arestas que partem do canto escolhido; é inclinado e atravessa o cubo — é a seção por uma das diagonais do corpo. - Para
: pense no plano que contém a diagonal de uma face quadrada (por exemplo, a base ) e se estende ao longo do eixo perpendicular (paralelo a ). - Dica prática: sempre coloque a origem em um vértice do cubo, calcule interceptos em unidades de
e una os pontos.
Passo 7
Agora regras para representar direções
:
- A notação
representa um vetor que, em uma célula cúbica com aresta , vai do ponto ao ponto depois de cancelar fatores comuns (normalizar inteiros mínimos). - Para desenhar uma direção, pegue o vetor com componentes inteiras
e trace uma seta a partir da origem até o ponto . Se algum componente for negativo, a seta aponta na direção negativa desse eixo.
Passo 8
Aplicando a regra às direções pedidas:
-
: componentes . Isso é simplesmente o eixo positivo; desenhe uma seta do canto para . -
: componentes . É a diagonal do corpo do cubo (body diagonal). Desenhe uma seta do canto para . -
: componentes . Isso é o eixo positivo; desenhe uma seta do canto para .
Passo 9
Relação entre planos e direções (resumindo para prova):
- Em cúbica: o vetor
é normal ao plano . Assim tem normal . Isso é útil para responder perguntas de perpendicularidade. - Direções com colchetes
e famílias com maiorias são equivalentes: é a família das quatro diagonais do corpo, e é a família dos planos equivalentes por simetria.
Passo 10
Definição do fator de empacotamento atômico (APF) — conceito e fórmula:
- Conceito: o fator de empacotamento atômico (atomic packing factor, APF) é a fração do volume da célula unitária ocupada pelos átomos (assumidos esferas rígidas totalmente empacotadas). É uma medida da eficiência do empacotamento.
- Fórmula geral:
onde
é o número de átomos efetivos por célula unitária,
é o volume de uma esfera atômica (assumida) e
é o volume da célula unitária.
Passo 11
Detalhes das quantidades na fórmula (explicando cada símbolo):
-
: conta quantos átomos completos existem por célula (por exemplo, SC tem , BCC tem , FCC tem ). -
, onde é o raio atômico efetivo (assumindo átomos esféricos). -
para cúbica, onde é o parâmetro de rede. Em estruturas cúbicas, e estão relacionados por geometria de contato entre átomos (por exemplo, em FCC os átomos na face se tocam ao longo da diagonal da face).
Passo 12
Exemplo prático calculando APF para os três casos cúbicos (muito útil para prova) — SC, BCC e FCC:
- SC (simple cubic):
. Geometria: .
- BCC (body-centered cubic):
. Geometria: a distância entre centros através da diagonal do corpo é e corresponde a , logo .
- FCC (face-centered cubic):
. Geometria: diagonal da face , logo .
Passo 13
Interpretação e de que o APF depende (resposta conceitual direta e aplicável na prova):
- O APF depende principalmente da geometria/arranjo dos átomos na célula (qual é a rede: SC, BCC, FCC, HCP, etc.) e do número de átomos efetivos por célula
. - Também depende da relação geométrica entre o raio atômico
e o parâmetro de rede (que é imposta pelo contato entre átomos na estrutura). - Observação prática: para uma dada estrutura (por exemplo FCC), o APF é uma constante geométrica (independe do tamanho absoluto do átomo), desde que se mantenha a mesma topologia de empacotamento e se assuma átomos esféricos que se tocam conforme a estrutura. Em outras palavras, APF é função da topologia do empacotamento, não do tipo químico em si — o tipo químico entra indiretamente ao fixar
e, portanto, , mas a fração geométrica final é fixa para aquela malha ideal. - Em condições reais, temperatura, pressão e ligações químicas podem alterar distâncias e portanto mudar ligeiramente o APF efetivo, mas a definição básica assume esferas rígidas e geometria ideal.
Resposta
Os planos
e
:
intercepta os eixos em
e forma um triângulo inclinado cuja normal é
;
intercepta os eixos em
e é paralelo ao eixo
(plano vertical contendo a diagonal da base
).
As direções ,
e
:
é o eixo
(seta
),
é a diagonal do corpo (seta
),
é o eixo
(seta
).
Fator de empacotamento atômico (APF): ; depende da geometria da rede (tipo de empacotamento e número de átomos por célula) e da relação geométrica entre
e
(contato entre átomos).
As direções
Fator de empacotamento atômico (APF):