1. Calcule os fatores de empacotamento linear das direções [100] e [110] para estrutura cristalina CFC e para estrutura CCC .
    \left[F E L_{[100]}^{C C C}=0,86 ; F E L_{[100]}^{C F C}=0,71 ; F E L_{[110]}^{C C C}=0,61 ; F E L_{[110]}^{C F C}=1,00\right]
  2. Calcule os fatores de empacotamento planar dos planos (100) para estrutura CFC e para estrutura CCC.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  1. Calcular os fatores de empacotamento linear (FEL) das direções [100] e [110] para as estruturas CFC e CCC.
  2. Calcular os fatores de empacotamento planar (FEP) do plano (100) para as estruturas CFC e CCC.
Informações relevantes que o enunciado fornece implicitamente e que usaremos:
  • Precisamos relacionar o parâmetro de rede a com o raio atômico R para cada estrutura (essa relação é chave para transformar comprimentos em múltiplos de R).
  • O FEL para uma direção é a fração do comprimento do vetor de rede naquela direção que está “ocupada” pelos átomos (ou seja, soma dos diâmetros/partes de diâmetro dos átomos ao longo do segmento considerado dividido pelo comprimento do segmento).
  • O FEP para um plano é a fração da área da celula plana (unidade) ocupada pela projeção das seções circulares dos átomos cujos centros estão naquele plano (ou seja, soma das áreas \pi R^2 dos átomos por equivalência no plano dividida pela área da célula do plano).
  • Não são pedidas provas formais além do cálculo numérico/algébrico; portanto vou computar ambos os fatores explicitando como contamos átomos e como usamos a e R.

Passo 2

Relações entre o parâmetro de rede a e o raio atômico R (fundamental para tudo que vem a seguir):
  • Para estrutura CCC (corpo centrado, BCC em inglês): os átomos se tocam ao longo da diagonal do corpo. A diagonal do cubo tem comprimento a\sqrt{3} e nela cabem 4R (dois raios do canto até o centro + dois raios do centro até o canto oposto). Logo
a\sqrt{3}=4R \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4R}{\sqrt{3}}.
  • Para estrutura CFC (face centrada, FCC em inglês): os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal de uma face tem comprimento a\sqrt{2} e nela cabem 4R. Logo
a\sqrt{2}=4R \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4R}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,R.
Explicação didática: essas relações vêm de observar onde os centros dos átomos estão e que pontos onde eles se tocam correspondem a distâncias bem definidas da célula (diagonais de face ou corpo). Saber a em função de R permite reescrever quaisquer comprimentos em múltiplos de R.

Passo 3

Definição e método para calcular FEL (fator de empacotamento linear) numa direção dada:
  • Seja um vetor de rede na direção considerada cujo comprimento (no cristal) é L.
  • Contamos os átomos cujos centros estão sobre esse segmento repetitivo e calculamos a extensão total ocupada por esses átomos ao longo do segmento. Cada átomo cujo centro está totalmente dentro do segmento contribui com \,2R (o diâmetro). Um átomo cujo centro está exatamente numa extremidade do segmento contribui com metade da sua contribuição linear para aquele segmento, ou seja, conta como 1/2 na soma de átomos (equivalente a R de extensão), porque a outra metade pertence ao segmento adjacente.
  • O FEL é então
\text{FEL}=\frac{\text{extensão total ocupada pelos átomos ao longo do segmento}}{L}.ãá
Este procedimento é o que nos permite obter formulas simples como \text{FEL}=\dfrac{2R}{a} em certos casos (quando a extensão ocupada por átomos num repeat é 2R e L=a, por exemplo).

Passo 4

Cálculo de \text{FEL}_{[100]} para CFC e CCC.
  • Comprimento do vetor de rede na direção [100] (entre dois nós equivalentes): L=a.
  • Na direção [100] os centros que aparecem a cada passo estão nos cantos da célula; olhando um segmento de comprimento a entre dois cantos consecutivos, cada canto contribui com metade do átomo para esse segmento, portanto a extensão total ocupada pelos átomos nesse segmento é
\text{ocupação}=R+R=2R.çã
Logo
\text{FEL}_{[100]}=\frac{2R}{a}.
Agora substituímos a para cada estrutura:
  • Para CCC: a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}}. Então
\text{FEL}_{[100]}^{\text{CCC}}=\frac{2R}{\tfrac{4R}{\sqrt{3}}}=\frac{2}{4}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025\approx 0,86.
  • Para CFC: a=2\sqrt{2}\,R. Então
\text{FEL}_{[100]}^{\text{CFC}}=\frac{2R}{2\sqrt{2}\,R}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707106\approx 0,71.
Interpretação rápida: na direção [100] a ocupação depende diretamente da razão R/a; estruturas com a maior em termos de R terão menor FEL.

Passo 5

Cálculo de \text{FEL}_{[110]} para CFC e CCC.
  • Comprimento do vetor de rede na direção [110] (diagonal de face simples): L=a\sqrt{2}.
Contagem de átomos ao longo do segmento de uma face diagonal (de um canto até o canto oposto da mesma face):
(a) Para CFC: na diagonal da face há um átomo no centro da face cujo centro está exatamente nessa diagonal, além dos dois cantos. Num segmento completo da diagonal de face (canto → canto) temos: dois cantos (cada um conta como 1/2) + o átomo do centro da face (conta inteiro). Soma de equivalentes de átomos = 1/2+1+1/2=2 átomos inteiros. A extensão total ocupada por esses átomos ao longo da diagonal é então 2\cdot(2R)=4R. Assim
\text{FEL}_{[110]}^{\text{CFC}}=\frac{4R}{a\sqrt{2}}.
Substituindo a=2\sqrt{2}\,R:
\text{FEL}_{[110]}^{\text{CFC}}=\frac{4R}{(2\sqrt{2}\,R)\sqrt{2}}=\frac{4R}{2\cdot 2R}=\frac{4R}{4R}=1.
Interpretação: a diagonal de face em CFC é uma linha de átomos encadeados que se tocam completamente — ocupação total 100%.
(b) Para CCC: na diagonal de face não existe átomo no centro da face (apenas cantos). Num segmento canto → canto temos apenas os dois cantos (cada um metade no segmento), então equivalem a 1 átomo inteiro total; ocupação linear = 1\cdot 2R=2R. Logo
\text{FEL}_{[110]}^{\text{CCC}}=\frac{2R}{a\sqrt{2}}.
Substituindo a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}}:
\text{FEL}_{[110]}^{\text{CCC}}=\frac{2R}{\left(\dfrac{4R}{\sqrt{3}}\right)\sqrt{2}} =\frac{2}{4}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}\approx 0,612372\approx 0,61.
Resumo: \text{FEL}_{[110]}^{\text{CFC}}=1 (linha compacta onde os átomos se tocam), \text{FEL}_{[110]}^{\text{CCC}}=\sqrt{3/8}\approx0,61.

Passo 6

Definição e método para calcular FEP (fator de empacotamento planar) do plano (100):
  • Tomamos a célula de repetição do plano (100): é a face do cubo de área A_{\text{face}}=a^2.
  • Contamos os átomos cujos centros estão exatamente nesse plano e calculamos a área total ocupada pelas respectivas secções circulares (cada átomo com centro no plano contribui com uma área \pi R^2 naquele plano).
  • Átomos nas esquinas da face têm centros no plano e, para a célula da face, cada canto é compartilhado por quatro faces adjacentes no plano → cada canto contribui com 1/4 de átomo para essa face. O átomo de face em CFC (centro da face) tem o centro no plano e conta integralmente.
  • O FEP é então
\text{FEP}=\frac{\text{nº equivalente de átomos no plano}\times \pi R^2}{a^2}.ºá

Passo 7

Cálculo de \text{FEP}_{(100)} para CFC.
  • Na face (100) de uma célula CFC temos:
    • 4 cantos na face, cada um dando 1/4 → contribuem 4\times\frac{1}{4}=1 átomo.
    • 1 átomo no centro da face (face-centered) que pertence totalmente àquela face → contribui 1 átomo.
  • Total equivalente de átomos cujo centro está no plano = 1+1=2.
  • Área ocupada pelos círculos = 2\pi R^2.
  • Área da célula do plano = a^2. Para CFC a=2\sqrt{2}\,R então a^2=8R^2.
  • Portanto
\text{FEP}_{(100)}^{\text{CFC}}=\frac{2\pi R^2}{8R^2}=\frac{\pi}{4}\approx 0,785398\approx 0,79.
Comentário prático: o plano (100) em CFC é bastante denso (78,5% da área ocupada por círculos).

Passo 8

Cálculo de \text{FEP}_{(100)} para CCC.
  • Na face (100) de uma célula CCC temos:
    • 4 cantos na face, cada um dando 1/4 → total equivalente 1 átomo.
    • Não há átomo no centro da face (em CCC o átomo adicional está no interior, no centro do corpo, não no plano da face), portanto não há mais contribuições.
  • Total equivalente de átomos no plano = 1.
  • Área ocupada pelos círculos = \pi R^2.
  • Área da célula do plano = a^2. Para CCC a=\dfrac{4R}{\sqrt{3}} então a^2=\dfrac{16R^2}{3}.
  • Portanto
\text{FEP}_{(100)}^{\text{CCC}}=\frac{\pi R^2}{\tfrac{16R^2}{3}}=\frac{3\pi}{16}\approx 0,589049\approx 0,59.
Interpretação: o plano (100) em CCC é menos denso que em CFC (aprox. 59% vs 78,5%).

Resposta

\text{FEL}_{[100]}^{\text{CCC}}=0,86
\text{FEL}_{[100]}^{\text{CFC}}=0,71
\text{FEL}_{[110]}^{\text{CCC}}=0,61
\text{FEL}_{[110]}^{\text{CFC}}=1,00
\text{FEP}_{(100)}^{\text{CFC}}=\dfrac{\pi}{4}\approx 0,79
\text{FEP}_{(100)}^{\text{CCC}}=\dfrac{3\pi}{16}\approx 0,59

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