\left[2,70 x 10^{-10} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} / 7,39 x 10^{-13} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right]
37. Calcule a massa (Fluxo, J) de Hidrogênio ( H_{2} ) que passa a cada hora através de uma chapa de paládio com 5 mm de espessura e que possui uma área de 0,2 \mathrm{~m}^{2} a 500^{\circ} \mathrm{C}. Considere que as concentrações nos lados de alta e baixa pressão sejam de 2,4 e 0,6 \mathrm{~kg} de hidrogênio por metro cúbico de paládio, respectivamente, e que as condições de estado estacionário tenham sido atingidas.
\left[2,3 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{h}\right]
38. Uma chapa de ferro com estrutura CCC e 1 mm de espessura está exposta a uma atmosfera gasosa carbonetante em um de seus lados e a uma atmosfera a descarbonetante no outro lado a 725^{\circ} \mathrm{C}. Após ter atingido a condição de estado estacionário o ferro foi rapidamente resfriado a temperatura ambiente. As concentrações de carbono nas duas superfícies da chapa foram determinadas como sendo de 0,012 e 0,0075 \% p. Calcule o coeficiente de difusão se o fluxo de difusão é de 1,4 \times 10^{-8} \mathrm{~kg} / m^{2}-\mathrm{s}.
(Dica: para calcular as concentrações "c"de carbono ( k g / m^{3} ) você pode utilizar a massa específica do Fe)

Passo 1

Enunciados e dados importantes (vou separar claramente as informações de cada questão para não nos perder):
Questão 37 — o que pedem e o que foi dado:
  • Pedem: calcular a massa (fluxo mássico total por hora) de \mathrm{H_2} que atravessa a chapa de paládio em estado estacionário.
  • Dados fornecidos: \text{espessura: } L = 5\\ \text{mm} = 0{,}005\\ \mathrm{m},
\text{área: } A = 0{,}2\\ \mathrm{m^2},á
\text{concentração lado alta pressão: } c_1 = 2{,}4\\ \mathrm{kg/m^3},çãã
\text{concentração lado baixa pressão: } c_2 = 0{,}6\\ \mathrm{kg/m^3},çãã
\text{condição: regime estacionário (gradiente linear de concentração)}.çãáçã
  • Observação sobre o coeficiente de difusão: no cabeçalho havia dois valores opcionais para D: \,2{,}70\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s} e \,7{,}39\times10^{-13}\\ \mathrm{m^2/s}. Vou usar o valor mais plausível indicado no enunciado/nota (o primeiro) para calcular; explico a escolha no desenvolvimento.
Questão 38 — o que pedem e o que foi dado:
  • Pedem: calcular o coeficiente de difusão D sabendo o fluxo mássico em regime estacionário depois do resfriamento rápido.
  • Dados fornecidos: \text{espessura: } L = 1\\ \text{mm} = 0{,}001\\ \mathrm{m},
\text{fluxo de difusão (mássico): } J = 1{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)},ãá
\text{concentrações na superfície: } 0{,}012\% \text{ p } \text{ e } 0{,}0075\% \text{ p (por massa)}.çõí
  • Dica do enunciado: converter essas porcentagens em concentrações \mathrm{kg/m^3} usando a massa específica do ferro. Vou usar a massa específica típica do ferro \, \rho_{\text{Fe}} = 7874\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão que costuma ser usado para ferro CCC).

Passo 2

Conceito-ferramenta fundamental (aula curtinha e objetiva): Lei de Fick para regime estacionário unidimensional.
  • Em estado estacionário, para difusão unidimensional com gradiente linear aplicável, a lei de Fick (mássica, quando trabalhamos com concentrações em \mathrm{kg/m^3}) dá o fluxo mássico constante J (em \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}):
J = -D\,\frac{\Delta c}{\Delta x}.
  • Aqui:
    • J é o fluxo mássico (quantos kg passam por unidade de área por segundo),
    • D é o coeficiente de difusão ( \mathrm{m^2/s}),
    • \Delta c = c_2 - c_1 é a diferença de concentração (se tomarmos sentido, usaremos módulo),
    • \Delta x é a distância entre as superfícies (espessura L).
  • Em regime estacionário com concentrações constantes nas superfícies e gradiente linear:
J = D\,\frac{c_1 - c_2}{L},
onde usei c_1 lado de maior concentração e c_2 lado menor, para ter J>0 no sentido do transporte de c_1 para c_2.
  • Para obter a massa por hora que atravessa a chapa, lembramos que a taxa de massa total é \dot{m} = J \cdot A e para converter para por hora multiplicamos por 3600.

Passo 3

Aplicando a fórmula na Questão 37 — cálculo do fluxo mássico (passo a passo):
  • Primeiro, diferença de concentração:
\Delta c = c_1 - c_2 = 2{,}4 - 0{,}6 = 1{,}8\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Espessura:
L = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Vou usar o coeficiente de difusão indicado no enunciado/cabeçalho como valor plausível para \mathrm{H_2} no paládio a alta temperatura:
D = 2{,}70\times10^{-10}\\ \mathrm{m^2/s}.
(Escolhi esse valor porque está listado no enunciado; é o valor maior e compatível com difusividade de gases em metais a temperaturas elevadas.)

Passo 4

Continuando Questão 37 — cálculo numérico do fluxo J:
  • Usando a fórmula de Fick:
J = D\,\frac{\Delta c}{L} = 2{,}70\times10^{-10}\cdot\frac{1{,}8}{0{,}005}.
  • Calculemos passo a passo:
\frac{1{,}8}{0{,}005} = 360.
J = 2{,}70\times10^{-10}\times 360 = 9{,}72\times10^{-8}\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}.

Passo 5

Questão 37 — converter fluxo por área em massa total por hora:
  • Taxa mássica instantânea (por segundo) atravessando a área A:
\dot{m}_{\text{(s)}} = J\cdot A = 9{,}72\times10^{-8}\times 0{,}2 = 1{,}944\times10^{-8}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Converter para \mathrm{kg/h} (multiplicar por 3600):
\dot{m}_{\text{(h)}} = 1{,}944\times10^{-8}\times3600 = 6{,}9984\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/h}.
  • Arredondando a um número razoável de algarismos significativos:
\dot{m}_{\text{(h)}} \approx 7{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 6

Comentário pedagógico curto sobre possíveis diferenças com respostas de prova:
  • Se no gabarito ou no enunciado você viu \,2{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/h} como resposta, isso implica que foi usado um valor diferente de D. Podemos verificar qual D produziria esse resultado (passo inverso): isso ajuda a entender discrepâncias entre tabelas/leituras de valores de D em diferentes fontes. Faço isso na próxima etapa (útil para você aprender a checar).

Passo 7

Verificação inversa (aula prática rápida): achar D que geraria \dot{m}=2{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/h}
  • Primeiro convertemos a taxa desejada para \mathrm{kg/s}:
2{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/h} = \frac{2{,}3\times10^{-3}}{3600} = 6{,}3889\times10^{-7}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Fluxo por área correspondente:
J_{\text{req}} = \frac{\dot{m}_{\text{(s)}}}{A} = \frac{6{,}3889\times10^{-7}}{0{,}2} = 3{,}1944\times10^{-6}\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}.
  • O coeficiente D necessário é
D = J_{\text{req}}\frac{L}{\Delta c} = 3{,}1944\times10^{-6}\cdot\frac{0{,}005}{1{,}8} = 8{,}873\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Conclusão curta: para obter \,2{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/h} seria preciso um D\approx 8{,}87\times10^{-9}\\ \mathrm{m^2/s}, bem maior que o 2{,}70\times10^{-10} que usei acima. Isso mostra como a escolha da tabela/valor de D altera fortemente o resultado.

Passo 8

Agora resolvendo a Questão 38: converter porcentagens em concentrações \mathrm{kg/m^3}
  • Tratamos as porcentagens como porcentagem em massa (massa de C por massa de ferro); assim a massa de carbono por volume de ferro é:
c = (\text{fração mássica de C})\times \rho_{\text{Fe}}.çãá
  • Frações mássicas: 0{,}012\% = 0{,}00012,\qquad 0{,}0075\% = 0{,}000075.
  • Uso \rho_{\text{Fe}} = 7874\\ \mathrm{kg/m^3} (valor típico do ferro BCC).
  • Cálculo das concentrações:
c_1 = 0{,}00012\times 7874 = 0{,}94488\\ \mathrm{kg/m^3},
c_2 = 0{,}000075\times 7874 = 0{,}59055\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Diferença de concentração:
\Delta c = c_1 - c_2 = 0{,}94488 - 0{,}59055 = 0{,}35433\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 9

Aplicando a lei de Fick para encontrar D (Questão 38):
  • Fórmula rearranjada (como já vimos):
D = J\,\frac{L}{\Delta c}.
  • Substituindo os valores: J = 1{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)},\quad L = 0{,}001\\ \mathrm{m},\quad \Delta c = 0{,}35433\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 10

Cálculo numérico do coeficiente D (Questão 38):
  • Compute:
D = \frac{1{,}4\times10^{-8}\times 0{,}001}{0{,}35433} = \frac{1{,}4\times10^{-11}}{0{,}35433}.
  • Dividindo:
D \approx 3{,}95\times10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Arredondando com sentido físico e algarismos significativos:
D \approx 3{,}95\times10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s}.

Resposta

Questão 37: 7{,}00\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/h}\n
Questão 38: 3{,}95\times10^{-11}\\ \mathrm{m^2/s}

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