Calcule o fluxo de overrightarrow{\mathcal{V}} para os seguintes casos:
S é a superfície do plano 2 x+y=6 limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e z=4, e overrightarrow{\mathcal{V}} é a densidade de corrente
overrightarrow{\mathcal{J}}=y \hat{\mathbf{i}}+2 x \hat{\mathbf{j}}-z \hat{\mathbf{k}}
Nos dois casos, interprete fisicamente o resultado das integrais.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo de densidade de corrente \overrightarrow{\mathcal{J}} através da superfície S dada pelo plano 2x+y=6, limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e z=4. As informações relevantes são:
\overrightarrow{\mathcal{J}} = y\,\hat{\mathbf{i}} + 2x\,\hat{\mathbf{j}} - z\,\hat{\mathbf{k}}
A superfície S é a parte do plano 2x+y=6 que fica entre as retas de interseção com x=0 e y=0, para 0\le z\le 4. As interseções no plano z= constante dão os pontos (0,6,z) e (3,0,z); portanto, para cada z\in[0,4] a interseção é o segmento de (0,6,z) até (3,0,z). O que se pede: calcular \displaystyle \iint_{S}\overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS (fluxo através de S) e interpretar fisicamente o resultado. Também vamos verificar com o Teorema da Divergência (para interpretar melhor o resultado global).

Passo 2

Escolha do método e parâmetros. Vou parametrizar S usando as variáveis x e z, escrevendo y em função de x pela equação do plano:
y = 6 - 2x.
Assim tomo a parametrização
\mathbf{r}(x,z) = (x,\;6-2x,\;z),
com domínios
0\le x\le 3,\qquad 0\le z\le 4,
pois quando x=0 temos y=6 e quando y=0 temos x=3. Vou usar essa parametrização para calcular o elemento de área orientado e o produto escalar \overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 3

Cálculo dos vetores tangentes e do elemento de área orientado. Calculo as derivadas parciais da parametrização:
\mathbf{r}_x = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x} = (1,\,-2,\,0), \qquad \mathbf{r}_z = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} = (0,\,0,\,1).
O vetor normal (não normalizado) dado pela regra do produto vetorial é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}}\\[4pt] 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-2,\,-1,\,0).
Esse vetor aponta num sentido. Para decidir a orientação (para interpretar fisicamente como “fluxo saindo” de um volume) note que o volume limitado por x=0, y=0, z=0, z=4 e 2x+y=6 é
V=\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;2x+y\le6,\;0\le z\le4\}.
O vetor normal que aponta para fora desse volume, na face 2x+y=6, é paralelo ao gradiente de 2x+y, que é (2,1,0). Observamos que \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z = (-2,-1,0) é exatamente o oposto de (2,1,0). Logo \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z está apontando para dentro do volume; para obter o elemento de área orientado para fora devemos usar
d\mathbf{S} = -(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z)\,dx\,dz = (2,\,1,\,0)\,dx\,dz.
Observação sobre magnitude: |\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}, e dS=\sqrt{5}\,dx\,dz. Usar o vetor (2,1,0)\,dx\,dz já inclui a magnitude correta porque vem de -(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z)\,dx\,dz.]

Passo 4

Expressar o campo sobre a superfície. Substituo y=6-2x na expressão de \overrightarrow{\mathcal{J}}:
\overrightarrow{\mathcal{J}}(x,z) = \bigl(6-2x,\;2x,\;-z\bigr).

Passo 5

Calcular o produto escalar \overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot d\mathbf{S}. Com d\mathbf{S}=(2,1,0)\,dx\,dz temos
\overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot d\mathbf{S} = \bigl(6-2x,\;2x,\;-z\bigr)\cdot(2,1,0)\,dx\,dz = \bigl(2(6-2x) + 1\cdot(2x) + 0\bigr)\,dx\,dz.
Simplificando o integrando:
2(6-2x)+2x = 12 -4x +2x = 12 - 2x.

Passo 6

Avaliar a integral dupla sobre o domínio (x,z)\in[0,3]\times[0,4]:
\Phi_S = \iint_{S}\overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot d\mathbf{S} = \int_{z=0}^{4}\int_{x=0}^{3} \bigl(12-2x\bigr)\,dx\,dz.
Calculo interno:
\int_{x=0}^{3} (12-2x)\,dx = \Bigl[12x - x^{2}\Bigr]_{0}^{3} = 36 - 9 = 27.
Agora o integral em z:
\Phi_S = \int_{0}^{4} 27\,dz = 27\cdot 4 = 108.

Passo 7

Interpretação física do resultado direto. O valor \Phi_S = 108 (unidades de corrente, dependendo das unidades do campo) é o fluxo total de corrente que atravessa a superfície S no sentido do vetor normal escolhido (no nosso caso escolhemos o normal apontando para fora do volume V). Como obtivemos um valor positivo, significa que, através dessa face inclinada 2x+y=6, há um resultado líquido de 108 unidades de corrente saindo do volume V (ou seja, fluxo para fora através de S).

Passo 8

Verificação pelo Teorema da Divergência e interpretação global. Para interpretar o sinal e ver o balanço com as outras faces, calculo a divergência de \overrightarrow{\mathcal{J}}:
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}} = \frac{\partial}{\partial x}(y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x) + \frac{\partial}{\partial z}(-z) = 0 + 0 -1 = -1.
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total através da superfície fechada \partial V que delimita V vale
\Phi_{\partial V} = \iiint_{V} (\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{J}})\,dV = \iiint_{V} (-1)\,dV = -\operatorname{Vol}(V).
O volume V é um prisma de base triangular (triângulo com vértices (0,0),(3,0),(0,6)) e altura 4. A área da base é
A_{\text{base}} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6 = 9,
logo
\operatorname{Vol}(V)=9\cdot 4 = 36.
Portanto
\Phi_{\partial V} = -36.
Esse resultado significa que, somando o fluxo pelas cinco faces que delimitam V, o fluxo líquido é -36: há um fluxo líquido entrando no volume (sinal negativo), correspondente a um “sumidouro” global (divergência negativa).

Passo 9

Relação entre os resultados e balanço de correntes. Já calculamos \Phi_{S}=108. Pelo Teorema da Divergência, a soma dos fluxos pelas outras faces (os planos x=0, y=0, z=0 e z=4) deve ser
\Phi_{\text{outras}} = \Phi_{\partial V} - \Phi_{S} = -36 - 108 = -144.
Ou seja, através das outras faces entra um total líquido de 144 unidades de corrente (sinal negativo quando contado com a orientação “para fora”), que mais do que compensa as 108 unidades que saem por S, resultando num balanço líquido de -36 (entrada líquida no volume). Fiz uma checagem rápida calculando os fluxos das outras faces separadamente:
  • Face x=0: fluxo = -72.
  • Face y=0: fluxo = -36.
  • Face z=0: fluxo = 0.
  • Face z=4: fluxo = -36.
    Soma = -72) + (-36) + 0 + (-36) = -144, consistente com o balanço acima.

Resposta

\Phi_{S}=108\n \Phi_{\partial V}=-36

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