Calcule o fluxo de overrightarrow{\mathcal{V}} para os seguintes casos: S é a superfície do plano 2 x+y=6 limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e z=4, e overrightarrow{\mathcal{V}} é a densidade de corrente
overrightarrow{\mathcal{J}}=y \hat{\mathbf{i}}+2 x \hat{\mathbf{j}}-z \hat{\mathbf{k}}
Nos dois casos, interprete fisicamente o resultado das integrais.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo de densidade de corrente \overrightarrow{\mathcal{J}} através da superfície S dada pelo plano 2x+y=6, limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e z=4. As informações relevantes são:
A superfície S é a parte do plano 2x+y=6 que fica entre as retas de interseção com x=0 e y=0, para 0\le z\le 4. As interseções no plano z= constante dão os pontos (0,6,z) e (3,0,z); portanto, para cada z\in[0,4] a interseção é o segmento de (0,6,z) até (3,0,z). O que se pede: calcular \displaystyle \iint_{S}\overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS (fluxo através de S) e interpretar fisicamente o resultado. Também vamos verificar com o Teorema da Divergência (para interpretar melhor o resultado global).
Passo 2
Escolha do método e parâmetros. Vou parametrizar S usando as variáveis x e z, escrevendo y em função de x pela equação do plano:
y = 6 - 2x.
Assim tomo a parametrização
\mathbf{r}(x,z) = (x,\;6-2x,\;z),
com domínios
0\le x\le 3,\qquad 0\le z\le 4,
pois quando x=0 temos y=6 e quando y=0 temos x=3. Vou usar essa parametrização para calcular o elemento de área orientado e o produto escalar \overrightarrow{\mathcal{J}}\cdot d\mathbf{S}.
Passo 3
Cálculo dos vetores tangentes e do elemento de área orientado. Calculo as derivadas parciais da parametrização:
Esse vetor aponta num sentido. Para decidir a orientação (para interpretar fisicamente como “fluxo saindo” de um volume) note que o volume limitado por x=0, y=0, z=0, z=4 e 2x+y=6 é
O vetor normal que aponta para fora desse volume, na face 2x+y=6, é paralelo ao gradiente de 2x+y, que é (2,1,0). Observamos que \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z = (-2,-1,0) é exatamente o oposto de (2,1,0). Logo \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z está apontando para dentro do volume; para obter o elemento de área orientado para fora devemos usar
Observação sobre magnitude: |\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}, e dS=\sqrt{5}\,dx\,dz. Usar o vetor (2,1,0)\,dx\,dz já inclui a magnitude correta porque vem de -(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z)\,dx\,dz.]
Passo 4
Expressar o campo sobre a superfície. Substituo y=6-2x na expressão de \overrightarrow{\mathcal{J}}:
Interpretação física do resultado direto. O valor \Phi_S = 108 (unidades de corrente, dependendo das unidades do campo) é o fluxo total de corrente que atravessa a superfície S no sentido do vetor normal escolhido (no nosso caso escolhemos o normal apontando para fora do volume V). Como obtivemos um valor positivo, significa que, através dessa face inclinada 2x+y=6, há um resultado líquido de 108 unidades de corrente saindo do volume V (ou seja, fluxo para fora através de S).
Passo 8
Verificação pelo Teorema da Divergência e interpretação global. Para interpretar o sinal e ver o balanço com as outras faces, calculo a divergência de \overrightarrow{\mathcal{J}}:
O volume V é um prisma de base triangular (triângulo com vértices (0,0),(3,0),(0,6)) e altura 4. A área da base é
A_{\text{base}} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6 = 9,
logo
\operatorname{Vol}(V)=9\cdot 4 = 36.
Portanto
\Phi_{\partial V} = -36.
Esse resultado significa que, somando o fluxo pelas cinco faces que delimitam V, o fluxo líquido é -36: há um fluxo líquido entrando no volume (sinal negativo), correspondente a um “sumidouro” global (divergência negativa).
Passo 9
Relação entre os resultados e balanço de correntes. Já calculamos \Phi_{S}=108. Pelo Teorema da Divergência, a soma dos fluxos pelas outras faces (os planos x=0, y=0, z=0 e z=4) deve ser
Ou seja, através das outras faces entra um total líquido de 144 unidades de corrente (sinal negativo quando contado com a orientação “para fora”), que mais do que compensa as 108 unidades que saem por S, resultando num balanço líquido de -36 (entrada líquida no volume). Fiz uma checagem rápida calculando os fluxos das outras faces separadamente:
Face x=0: fluxo = -72.
Face y=0: fluxo = -36.
Face z=0: fluxo = 0.
Face z=4: fluxo = -36.
Soma = -72) + (-36) + 0 + (-36) = -144, consistente com o balanço acima.