Considere um campo magnético dado por
(a) Verifique se
é fisicamente aceitável, isto é, se
.
(b) Calcule o rotacional de
.
(c) Este campo magnético age sobre um fio descrito pela curva
, de
a
. Pelo fio passa uma corrente
. Determine a força magnética sobre o fio.
[OBS.: A força magnética sobre uma carga elétrica de carga
em movimento com velocidade
em um campo magnético
é dada por:
A força magnética sobre um fio descrito por uma curva
no espaço é dada por:
(b) Calcule o rotacional de
(c) Este campo magnético age sobre um fio descrito pela curva
[OBS.: A força magnética sobre uma carga elétrica de carga
Passo 1
O enunciado dá um campo magnético e pede três coisas. Informação dada:
Perguntas que o enunciado faz:
- (a) Verificar se
é fisicamente aceitável, isto é, se . - (b) Calcular o rotacional
. - (c) Determinar a força magnética sobre um fio que segue a curva
quando por esse fio passa uma corrente
. A fórmula a usar é
Passo 2
Vamos checar a divergência passo a passo e aprender o que é divergência. A divergência de um campo vetorial
é definida por
Cada termo é uma derivada parcial: por exemplo
trata
como função de
e deriva só em relação a
. A divergência mede, localmente, se o campo “está saindo” (divergência positiva) ou “entrando” (divergência negativa) de um ponto. Para campos magnéticos no eletromagnetismo independente do tempo, a lei de Gauss para o magnetismo exige
(não existem “monopólos magnéticos”).
Aplicando a definição ao nosso campo
. Identificamos
Agora calculamos as derivadas parciais:
Somando,
Portanto
: o campo satisfaz a condição e é fisicamente aceitável nesse sentido.
Passo 3
Agora vamos aprender a calcular o rotacional (ou curl). Para um campo
o rotacional é
Intuição breve: o rotacional mede a tendência do campo a “rodar” ao redor de um ponto (vorticidade). No contexto de magnetostática,
está relacionado à densidade de corrente elétrica (Lei de Ampère).
Aplicando ao nosso campo
, calculamos cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto
Passo 4
Agora partimos para a força sobre o fio. Vamos aprender a transformar a integral de linha vetorial em uma integral paramétrica prática. Se a curva é dada por
com
variando numa ordem orientada, então
A força magnética sobre um fio percorrido por corrente
é
No nosso problema a parametrização é
Calculamos a derivada:
Este vetor
é o elemento de comprimento orientado por unidade de parâmetro.
Passo 5
Precisamos do campo
ao longo da curva, ou seja
. Substituímos
em
:
Passo 6
Agora calculamos o produto vetorial
. Recordando a fórmula direta para o produto vetorial: se
e
então
Tomamos
e
. Calculamos componente a componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Logo
Passo 7
Agora integramos cada componente, multiplicando por
, no intervalo
:
Vamos calcular as integrais separadamente e com calma (sem pular passos).
Integral da componente
:
Usamos identidades trigonométricas úteis:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Portanto uma primitiva para o integrando é
(Achei uma forma alternativa mais direta: somando as partes dá a mesma primitiva.) Agora avaliamos de
a
:
- Em
: - Em
:
Subtraindo superior - inferior:
Logo a componente
da força é
.
Integral da componente
:
Calcule cada termo:
Avaliação: em
temos
. Em
a expressão é
. Logo esse termo vale
.
O outro termo:
O outro termo:
Somando:
Portanto a componente
da força é
.
A componente
é zero porque o integrando era zero.
Passo 8
Juntando as componentes, a força magnética total sobre o fio é
Podemos escrever mais compactamente omitindo o zero em
:
Resposta
(a) Sim,
.
(b)
.
(c)
.