Considere um campo magnético dado por
\overrightarrow{\mathcal{B}}=2 y \hat{\mathbf{i}}-z \hat{\mathbf{j}}+x \hat{\mathbf{k}}
(a) Verifique se \overrightarrow{\mathcal{B}} é fisicamente aceitável, isto é, se \nabla \cdot \overrightarrow{\mathcal{B}}=0.
(b) Calcule o rotacional de \overrightarrow{\mathcal{B}}.
(c) Este campo magnético age sobre um fio descrito pela curva x=\cos (t), y=\sin (t), z=2 \cos (t), de t=0 a t=\pi / 2. Pelo fio passa uma corrente i. Determine a força magnética sobre o fio.
[OBS.: A força magnética sobre uma carga elétrica de carga q em movimento com velocidade \mathbf{v} em um campo magnético \overrightarrow{\mathcal{B}} é dada por:
\mathbf{F}=q \mathbf{v} \times \overrightarrow{\mathcal{B}}
A força magnética sobre um fio descrito por uma curva \mathcal{C} no espaço é dada por:
\left.\mathbf{F}=\oint_{\mathcal{C}} i d \vec{\ell} \times \overrightarrow{\mathcal{B}} .\right]

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético e pede três coisas. Informação dada:
\overrightarrow{\mathcal{B}}=2 y \,\hat{\mathbf{i}}-z \,\hat{\mathbf{j}}+x \,\hat{\mathbf{k}}
Perguntas que o enunciado faz:
  1. (a) Verificar se \overrightarrow{\mathcal{B}} é fisicamente aceitável, isto é, se \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=0.
  2. (b) Calcular o rotacional \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}}.
  3. (c) Determinar a força magnética sobre um fio que segue a curva
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=2\cos t,\quad t\in[0,\pi/2],
quando por esse fio passa uma corrente i. A fórmula a usar é
\mathbf{F}=\oint_{\mathcal{C}} i\, d\vec{\ell}\times \overrightarrow{\mathcal{B}}.

Passo 2

Vamos checar a divergência passo a passo e aprender o que é divergência. A divergência de um campo vetorial \overrightarrow{V}=(V_x,V_y,V_z) é definida por
\nabla\cdot\overrightarrow{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}.
Cada termo é uma derivada parcial: por exemplo \partial V_x/\partial x trata V_x como função de (x,y,z) e deriva só em relação a x. A divergência mede, localmente, se o campo “está saindo” (divergência positiva) ou “entrando” (divergência negativa) de um ponto. Para campos magnéticos no eletromagnetismo independente do tempo, a lei de Gauss para o magnetismo exige \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=0 (não existem “monopólos magnéticos”).
Aplicando a definição ao nosso campo \overrightarrow{\mathcal{B}}. Identificamos
B_x=2y,\quad B_y=-z,\quad B_z=x.
Agora calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial B_x}{\partial x}=\frac{\partial (2y)}{\partial x}=0,
\frac{\partial B_y}{\partial y}=\frac{\partial (-z)}{\partial y}=0,
\frac{\partial B_z}{\partial z}=\frac{\partial x}{\partial z}=0.
Somando,
\nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=0+0+0=0.
Portanto \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=0: o campo satisfaz a condição e é fisicamente aceitável nesse sentido.

Passo 3

Agora vamos aprender a calcular o rotacional (ou curl). Para um campo \overrightarrow{V}=(V_x,V_y,V_z) o rotacional é
\nabla\times\overrightarrow{V}=\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{j}}+\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{k}}.
Intuição breve: o rotacional mede a tendência do campo a “rodar” ao redor de um ponto (vorticidade). No contexto de magnetostática, \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}} está relacionado à densidade de corrente elétrica (Lei de Ampère).
Aplicando ao nosso campo B_x=2y,\;B_y=-z,\;B_z=x, calculamos cada componente:
  • Componente \hat{\mathbf{i}}:
\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z}=\frac{\partial x}{\partial y}-\frac{\partial (-z)}{\partial z}=0-(-1)=1.
  • Componente \hat{\mathbf{j}}:
\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x}=\frac{\partial (2y)}{\partial z}-\frac{\partial x}{\partial x}=0-1=-1.
  • Componente \hat{\mathbf{k}}:
\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y}=\frac{\partial (-z)}{\partial x}-\frac{\partial (2y)}{\partial y}=0-2=-2.
Portanto
\nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}}=1\cdot\hat{\mathbf{i}}-1\cdot\hat{\mathbf{j}}-2\cdot\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}-2\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Agora partimos para a força sobre o fio. Vamos aprender a transformar a integral de linha vetorial em uma integral paramétrica prática. Se a curva é dada por \vec{r}(t) com t variando numa ordem orientada, então
d\vec{\ell}=\vec{r}\,'(t)\,dt.
A força magnética sobre um fio percorrido por corrente i é
\mathbf{F}=\int_{t_1}^{t_2} i\,\vec{r}\,'(t)\times \overrightarrow{\mathcal{B}}(\vec{r}(t))\,dt.
No nosso problema a parametrização é
\vec{r}(t)=\big(\cos t,\;\sin t,\;2\cos t\big),\qquad t\in[0,\pi/2].
Calculamos a derivada:
\vec{r}\,'(t)=\big(-\sin t,\;\cos t,\;-2\sin t\big).
Este vetor \vec{r}\,'(t) é o elemento de comprimento orientado por unidade de parâmetro.

Passo 5

Precisamos do campo \overrightarrow{\mathcal{B}} ao longo da curva, ou seja \overrightarrow{\mathcal{B}}(\vec{r}(t)). Substituímos x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=2\cos t em \overrightarrow{\mathcal{B}}=2y\,\hat{\mathbf{i}}-z\,\hat{\mathbf{j}}+x\,\hat{\mathbf{k}}:
\overrightarrow{\mathcal{B}}(\vec{r}(t))=\big(2\sin t,\;-2\cos t,\;\cos t\big).

Passo 6

Agora calculamos o produto vetorial \vec{r}\,'(t)\times \overrightarrow{\mathcal{B}}(\vec{r}(t)). Recordando a fórmula direta para o produto vetorial: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) então
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2 b_3-a_3 b_2\big)\hat{\mathbf{i}}+\big(a_3 b_1-a_1 b_3\big)\hat{\mathbf{j}}+\big(a_1 b_2-a_2 b_1\big)\hat{\mathbf{k}}.
Tomamos \vec{a}=\vec{r}\,'(t)=(-\sin t,\cos t,-2\sin t) e \vec{b}=\overrightarrow{\mathcal{B}}(\vec{r}(t))=(2\sin t,-2\cos t,\cos t). Calculamos componente a componente:
  • Componente \hat{\mathbf{i}}:
a_2 b_3-a_3 b_2=\cos t\cdot\cos t-(-2\sin t)\cdot(-2\cos t)=\cos^2 t-4\sin t\cos t.
  • Componente \hat{\mathbf{j}}:
a_3 b_1-a_1 b_3=(-2\sin t)\cdot(2\sin t)-(-\sin t)\cdot\cos t=-4\sin^2 t+\sin t\cos t.
  • Componente \hat{\mathbf{k}}:
a_1 b_2-a_2 b_1=(-\sin t)\cdot(-2\cos t)-\cos t\cdot(2\sin t)=2\sin t\cos t-2\sin t\cos t=0.
Logo
\vec{r}\,'(t)\times \overrightarrow{\mathcal{B}}(\vec{r}(t))=\big(\cos^2 t-4\sin t\cos t\big)\hat{\mathbf{i}}+\big(-4\sin^2 t+\sin t\cos t\big)\hat{\mathbf{j}}+0\cdot\hat{\mathbf{k}}.

Passo 7

Agora integramos cada componente, multiplicando por i, no intervalo t\in[0,\pi/2]:
\mathbf{F}=i\int_{0}^{\pi/2}\Big[\big(\cos^2 t-4\sin t\cos t\big)\hat{\mathbf{i}}+\big(-4\sin^2 t+\sin t\cos t\big)\hat{\mathbf{j}}+0\cdot\hat{\mathbf{k}}\Big]dt.
Vamos calcular as integrais separadamente e com calma (sem pular passos).
Integral da componente \hat{\mathbf{i}}:
I_1=\int_{0}^{\pi/2}\big(\cos^2 t-4\sin t\cos t\big)dt.
Usamos identidades trigonométricas úteis:
\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2},\qquad \sin t\cos t=\frac{1}{2}\sin 2t,\qquad \sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}.
Primeiro termo:
\int \cos^2 t\,dt=\int\frac{1+\cos 2t}{2}\,dt=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t.
Segundo termo:
\int 4\sin t\cos t\,dt=4\cdot\frac{1}{2}\int \sin 2t\,dt=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\cos 2t\right)=-\cos 2t.
Portanto uma primitiva para o integrando é
\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t-(-\cos 2t)=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t+\cos 2t.
(Achei uma forma alternativa mais direta: somando as partes dá a mesma primitiva.) Agora avaliamos de 0 a \pi/2:
  • Em t=\pi/2: \frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\sin\pi+\cos\pi=\frac{\pi}{4}+0-1=\frac{\pi}{4}-1.
  • Em t=0: 0+\frac{1}{4}\sin 0+\cos 0=0+0+1=1.
    Subtraindo superior - inferior:
I_1=\left(\frac{\pi}{4}-1\right)-1=\frac{\pi}{4}-2.
Logo a componente \hat{\mathbf{i}} da força é i\left(\frac{\pi}{4}-2\right).
Integral da componente \hat{\mathbf{j}}:
I_2=\int_{0}^{\pi/2}\big(-4\sin^2 t+\sin t\cos t\big)dt.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{\pi/2}-4\sin^2 t\,dt=-4\int_{0}^{\pi/2}\sin^2 t\,dt=-4\left[\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t\right]_{0}^{\pi/2}.
Avaliação: em t=\pi/2 temos \frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}\sin\pi=\frac{\pi}{4}. Em t=0 a expressão é 0. Logo esse termo vale -4\cdot\frac{\pi}{4}=-\pi.
O outro termo:
\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt=\left[\frac{1}{2}\sin^2 t\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{2}.
Somando:
I_2=-\pi+\frac{1}{2}.
Portanto a componente \hat{\mathbf{j}} da força é i\left(-\pi+\frac{1}{2}\right).
A componente \hat{\mathbf{k}} é zero porque o integrando era zero.

Passo 8

Juntando as componentes, a força magnética total sobre o fio é
\mathbf{F}=i\left(\left(\frac{\pi}{4}-2\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(-\pi+\frac{1}{2}\right)\hat{\mathbf{j}}+0\cdot\hat{\mathbf{k}}\right).
Podemos escrever mais compactamente omitindo o zero em \hat{\mathbf{k}}:
\mathbf{F}=i\left(\left(\frac{\pi}{4}-2\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(-\pi+\frac{1}{2}\right)\hat{\mathbf{j}}\right).

Resposta

(a) Sim, \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{B}}=0.
(b) \nabla\times\overrightarrow{\mathcal{B}}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}-2\hat{\mathbf{k}}.
(c) \displaystyle \mathbf{F}=i\!\left(\left(\frac{\pi}{4}-2\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(-\pi+\frac{1}{2}\right)\hat{\mathbf{j}}\right).

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