Calcule \frac{d F}{d x}, \operatorname{com} F(x) igual a:
\int_{1}^{x}(5 t-2) d t

Passo 1

O enunciado nos define
F(x) = \int_{1}^{x}(5t - 2)\,dt
e pede \frac{dF}{dx}. O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivada de integral com o integrando.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1), temos
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\int_{1}^{x}f(t)\,dt\Bigr] = f(x).
Aqui f(t)=5t-2, logo
\frac{dF}{dx} = 5x - 2.

Passo 3

Para confirmar, podemos calcular explicitamente F(x):
\int(5t-2)\,dt = \frac{5}{2}t^2 - 2t + C.
Assim
F(x) = \Bigl(\tfrac{5}{2}x^2 - 2x\Bigr) - \Bigl(\tfrac{5}{2}\cdot1^2 - 2\cdot1\Bigr) = \frac{5}{2}x^2 - 2x - \frac{1}{2}.
Derivando,
\frac{dF}{dx} = 5x - 2,
coincidindo com o teorema.

Resposta

\frac{dF}{dx} = 5x - 2.

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