Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a
da função
Informações dadas:
- A função é o polinômio
. - A operação pedida é
, ou seja, a derivada em relação a .
Nenhuma outra informação é fornecida.
Passo 2
O que é derivada, de forma simples e prática. A derivada de uma função em relação a
mede a taxa de variação instantânea dessa função quando
muda. Para resolver este exercício vamos usar duas regras básicas e muito usadas:
Regra 1 — linearidade da derivada: a derivada de soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas, e constantes podem sair:
onde
e
são constantes.
Regra 2 — regra do expoente (power rule): para qualquer inteiro positivo
,
Aqui
é o expoente e
é a variável; a regra diz: multiplicar pela potência
e diminuir o expoente em
.
Exemplo rápido para fixar: aplicando a Regra 2 em
tem-se
E por linearidade, se tiver
a derivada é
vezes a derivada de
, ou seja
.
Passo 3
Vamos aplicar as regras termo a termo (pela linearidade). A função tem três termos:
,
e
.
Derivada do primeiro termo
:
Aplicando a Regra 2 com ,
Aplicando a Regra 2 com
Passo 4
Derivada do segundo termo
:
Pela linearidade, sai a constante e aplica-se a Regra 2 a
com
:
Pela linearidade, sai a constante
Passo 5
Derivada do terceiro termo
:
Reconhece-se que é
. Aplicando a Regra 2 com
,
Reconhece-se que
(Isto também é uma regra básica: a derivada de
é
.)
Passo 6
Agora, pela linearidade (somamos as derivadas dos termos), os resultados parciais obtidos nos passos anteriores se combinam para formar a derivada da função inteira. As derivadas dos termos foram: