Calcule:
\frac{d}{d x}\left(x^{5}-4 x^{3}+x\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a x da função
x^{5}-4 x^{3}+x.
Informações dadas:
  • A função é o polinômio \;x^{5}-4 x^{3}+x\;.
  • A operação pedida é \dfrac{d}{d x}(\cdot), ou seja, a derivada em relação a x.
    Nenhuma outra informação é fornecida.

Passo 2

O que é derivada, de forma simples e prática. A derivada de uma função em relação a x mede a taxa de variação instantânea dessa função quando x muda. Para resolver este exercício vamos usar duas regras básicas e muito usadas:
Regra 1 — linearidade da derivada: a derivada de soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas, e constantes podem sair:
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\bigr) = a\cdot\frac{d}{dx}f(x) + b\cdot\frac{d}{dx}g(x),
onde a e b são constantes.
Regra 2 — regra do expoente (power rule): para qualquer inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável; a regra diz: multiplicar pela potência n e diminuir o expoente em 1.
Exemplo rápido para fixar: aplicando a Regra 2 em x^{3} tem-se
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
E por linearidade, se tiver -4x^{3} a derivada é -4 vezes a derivada de x^{3}, ou seja -4\cdot 3x^{2}=-12x^{2}.

Passo 3

Vamos aplicar as regras termo a termo (pela linearidade). A função tem três termos: \;x^{5}, \;-4x^{3} e \;x.
Derivada do primeiro termo \;x^{5}:
Aplicando a Regra 2 com n=5,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=5x^{4}.

Passo 4

Derivada do segundo termo \;-4x^{3}:
Pela linearidade, sai a constante -4 e aplica-se a Regra 2 a x^{3} com n=3:
\frac{d}{dx}\bigl(-4x^{3}\bigr)=-4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=-4\cdot 3x^{2}=-12x^{2}.

Passo 5

Derivada do terceiro termo \;x:
Reconhece-se que x é x^{1}. Aplicando a Regra 2 com n=1,
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1\cdot x^{0}=1.
(Isto também é uma regra básica: a derivada de x é 1.)

Passo 6

Agora, pela linearidade (somamos as derivadas dos termos), os resultados parciais obtidos nos passos anteriores se combinam para formar a derivada da função inteira. As derivadas dos termos foram:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=5x^{4},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-4x^{3}\bigr)=-12x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1.

Resposta

5x^{4}-12x^{2}+1

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