Calcule a derivada de:
f(x)=3 x^{3}-2 x^{2}+5 x-1 .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3x^{3}-2x^{2}+5x-1
e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações importantes fornecidas:
  • Coeficientes dos termos: 3 no termo x^{3}, -2 no termo x^{2}, 5 no termo x e -1 termo constante.
  • A única pergunta é: qual é f'(x)?

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma direta):
  • Derivada como taxa de variação: a derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto x; é a taxa de variação instantânea de f em relação a x.
  • Linearidade da derivada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes fatoram para fora:
\frac{d}{dx}\big(a\cdot g(x)\big)=a\cdot\frac{d}{dx}g(x), \qquad \frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=\frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}h(x).
Aqui a é uma constante e g,h são funções de x.
  • Regra da potência (fundamental para polinômios): para qualquer inteiro n\ge0,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Isso significa que, para cada termo c x^{n} (com c constante), a derivada é c\cdot n x^{n-1}.

Passo 3

Aplicar as regras termo a termo na função dada. Vamos derivar cada termo separadamente, explicando cada passo:
Derivada de 3x^{3}:
\frac{d}{dx}\big(3x^{3}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3\cdot 3x^{2}=9x^{2}.
Explanação: saiu o 3 (constante) e aplicou-se a regra da potência com n=3.
Derivada de -2x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(-2x^{2}\big)=-2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=-2\cdot 2x=-4x.
Explanação: constante -2 multiplicando, regra da potência com n=2.
Derivada de 5x:
\frac{d}{dx}\big(5x\big)=5\cdot\frac{d}{dx}\big(x\big)=5\cdot 1=5.
Explanação: x é x^{1}, então a regra da potência dá 1\cdot x^{0}=1.
Derivada de -1 (constante):
\frac{d}{dx}\big(-1\big)=0.
Explanação: derivada de constante é zero porque constantes não variam com x.

Passo 4

Somar as derivadas parciais (pela linearidade):
f'(x)=9x^{2}-4x+5+0.
Eliminar o +0 e escrever de forma simplificada:
f'(x)=9x^{2}-4x+5.

Resposta

f'(x)=9x^{2}-4x+5

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