Calcule \frac{d y}{d x} em cada caso (derivada implícita):
x^{2} y+y^{2}=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dy}{dx} quando x e y estão relacionados implicitamente pela equação
x^{2}y + y^{2} = 3.
Informações dadas:
  • A relação entre x e y é implícita (não temos y isolado).
  • Queremos a derivada de y em função de x, isto é \dfrac{dy}{dx} (também denotada por y').

Passo 2

Estratégia geral (ideia da técnica): diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y é função de x (ou seja, y=y(x)). Sempre que derivarmos uma expressão que contém y, usamos a regra da cadeia e multiplicamos por y'=\dfrac{dy}{dx}. Vou usar a notação y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Vamos diferenciar termo a termo. Primeiro termo: x^{2}y. Aqui há um produto entre u(x)=x^{2} e v(x)=y(x). A regra do produto diz que
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'v+uv'.
No nosso caso u'=2x e v'=y'. Portanto
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x\cdot y + x^{2}\cdot y'.

Passo 4

Segundo termo: y^{2}. Isso é uma composição g(y(x)) com g(t)=t^{2}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=g'(y)\cdot y' = 2y\cdot y'.

Passo 5

O lado direito da equação é a constante 3. A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}(3)=0.

Passo 6

Agora somo as derivadas dos termos do lado esquerdo e igualo a zero:
2x y + x^{2} y' + 2y y' = 0.

Passo 7

Agrupo os termos que contêm y':
x^{2} y' + 2y y' + 2x y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y'(x^{2}+2y) + 2x y = 0.

Passo 8

Isolo y' (subtraio 2x y e divido por x^{2}+2y):
y'(x^{2}+2y) = -2x y \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{dy}{dx} = -\frac{2x y}{x^{2}+2y},
desde que x^{2}+2y\neq 0.

Passo 9

Observação útil: vale a pena verificar se x^{2}+2y=0 pode ocorrer para pontos reais da curva dada. Se x^{2}+2y=0 então y=-\dfrac{x^{2}}{2}. Substituindo na equação original:
x^{2}\!\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)+\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)^{2} = -\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{4}}{4} = -\frac{x^{4}}{4}.
Isto seria igual a 3, o que exigiria x^{4}=-12, impossível para x real. Logo, não existem pontos reais da curva com x^{2}+2y=0, e a fórmula acima é válida para todos os pontos reais da curva.

Passo 10

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional): se x=1 então y satisfaz y + y^{2}=3, isto é y^{2}+y-3=0. Uma raiz é y=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\approx1,303. Substituindo na fórmula:
y' = -\frac{2\cdot 1 \cdot 1,303}{1^{2}+2\cdot 1,303}\approx -\frac{2,606}{3,606}\approx -0,723.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x\,y}{x^{2}+2y}

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