Calcule
em cada caso (derivada implícita):
Passo 1
O enunciado pede para calcular
quando
e
estão relacionados implicitamente pela equação
Informações dadas:
- A relação entre
e é implícita (não temos isolado). - Queremos a derivada de
em função de , isto é (também denotada por ).
Passo 2
Estratégia geral (ideia da técnica): diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
, lembrando que
é função de
(ou seja,
). Sempre que derivarmos uma expressão que contém
, usamos a regra da cadeia e multiplicamos por
. Vou usar a notação
.
Passo 3
Vamos diferenciar termo a termo. Primeiro termo:
. Aqui há um produto entre
e
. A regra do produto diz que
No nosso caso
e
. Portanto
Passo 4
Segundo termo:
. Isso é uma composição
com
. Pela regra da cadeia,
Passo 5
O lado direito da equação é a constante
. A derivada de uma constante é zero:
Passo 6
Agora somo as derivadas dos termos do lado esquerdo e igualo a zero:
Passo 7
Agrupo os termos que contêm
:
Passo 8
Isolo
(subtraio
e divido por
):
desde que
.
Passo 9
Observação útil: vale a pena verificar se
pode ocorrer para pontos reais da curva dada. Se
então
. Substituindo na equação original:
Isto seria igual a
, o que exigiria
, impossível para
real. Logo, não existem pontos reais da curva com
, e a fórmula acima é válida para todos os pontos reais da curva.
Passo 10
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional): se
então
satisfaz
, isto é
. Uma raiz é
. Substituindo na fórmula: