Determine os máximos e mínimos das funções:
f(x)=\sin x, no intervalo [0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=\sin x\, definida no intervalo [0,2\pi] e pede para determinar os máximos e mínimos dessa função nesse intervalo.
Informações relevantes:
  • Função: \,f(x)=\sin x\,.
  • Intervalo considerado: \,[0,2\pi]\,.
  • Precisamos encontrar pontos onde a função atinge valores máximos e mínimos (tanto absolutos quanto locais, neste caso coincidentes).

Passo 2

Entendendo a estratégia (passo-a-passo e didático). Para funções diferenciáveis num intervalo fechado, os extremos absolutos podem ocorrer em:
  1. pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe), ou
  2. extremos do intervalo (aqui x=0 e x=2\pi).
Vamos então:
  • calcular a derivada \,f'(x)\,,
  • achar os pontos críticos internos em [0,2\pi] resolvendo \,f'(x)=0,
  • classificar esses pontos (máximo ou mínimo) com o teste da segunda derivada (ou analisando o sinal da derivada),
  • comparar os valores de f nos pontos críticos e nas extremidades para decidir máximos/minimos absolutos.
Explicação rápida do teste da segunda derivada: se f''(x_0)<0 então x_0 é ponto de máximo local; se f''(x_0)>0 então é ponto de mínimo local. Se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calcular derivadas:
f'(x)=\cos x.
f''(x)=-\sin x.
Explicação das derivadas: a derivada de \sin x em relação a x é \cos x; a derivada de \cos x é -\sin x. Essas são regras básicas de derivação de funções trigonométricas.

Passo 4

Encontrar pontos críticos internos resolvendo \,f'(x)=0:
\cos x=0.
As soluções gerais de \cos x=0 são \,x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}. No intervalo [0,2\pi] aparecem os valores
x=\frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{3\pi}{2}.

Passo 5

Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada:
  • Em x=\dfrac{\pi}{2}:
f''\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 < 0,
portanto x=\dfrac{\pi}{2} é um ponto de máximo local (e possivelmente absoluto).
  • Em x=\dfrac{3\pi}{2}:
f''\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1)=1 > 0,
portanto x=\dfrac{3\pi}{2} é um ponto de mínimo local (e possivelmente absoluto).
Explicação: pelo teste da segunda derivada, sinal negativo indica concavidade para baixo (máximo), sinal positivo indica concavidade para cima (mínimo).

Passo 6

Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,
f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,
f(0)=\sin 0=0,\qquad f(2\pi)=\sin(2\pi)=0.
Comparando os valores: o maior valor obtido é 1 em x=\dfrac{\pi}{2}; o menor valor obtido é -1 em x=\dfrac{3\pi}{2}. Os valores nas extremidades são 0, que ficam entre 1 e -1.

Resposta

Máximo absoluto: f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 em x=\dfrac{\pi}{2}.
Mínimo absoluto: f\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1 em x=\dfrac{3\pi}{2}.

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