Determine os máximos e mínimos das funções:
, no intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede para determinar os máximos e mínimos dessa função nesse intervalo.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Função:
. - Intervalo considerado:
. - Precisamos encontrar pontos onde a função atinge valores máximos e mínimos (tanto absolutos quanto locais, neste caso coincidentes).
Passo 2
Entendendo a estratégia (passo-a-passo e didático). Para funções diferenciáveis num intervalo fechado, os extremos absolutos podem ocorrer em:
- pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe), ou
- extremos do intervalo (aqui
e ).
Vamos então:
- calcular a derivada
, - achar os pontos críticos internos em
resolvendo , - classificar esses pontos (máximo ou mínimo) com o teste da segunda derivada (ou analisando o sinal da derivada),
- comparar os valores de
nos pontos críticos e nas extremidades para decidir máximos/minimos absolutos.
Explicação rápida do teste da segunda derivada: se
então
é ponto de máximo local; se
então é ponto de mínimo local. Se
o teste é inconclusivo.
Passo 3
Calcular derivadas:
Explicação das derivadas: a derivada de
em relação a
é
; a derivada de
é
. Essas são regras básicas de derivação de funções trigonométricas.
Passo 4
Encontrar pontos críticos internos resolvendo
:
As soluções gerais de
são
para
. No intervalo
aparecem os valores
Passo 5
Classificar os pontos críticos usando a segunda derivada:
- Em
:
portanto
é um ponto de máximo local (e possivelmente absoluto).
- Em
:
portanto
é um ponto de mínimo local (e possivelmente absoluto).
Explicação: pelo teste da segunda derivada, sinal negativo indica concavidade para baixo (máximo), sinal positivo indica concavidade para cima (mínimo).
Passo 6
Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
Comparando os valores: o maior valor obtido é
em
; o menor valor obtido é
em
. Os valores nas extremidades são
, que ficam entre
e
.
Resposta
Máximo absoluto:
em
.
Mínimo absoluto: em
.
Mínimo absoluto: