Calcule \frac{d f}{d t} das funções abaixo.
f(x, y)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}, x=\ln (t) e y=\cos (t);

Passo 1

O enunciado pede a derivada total
\displaystyle \frac{d f}{d t}
de
f(x,y) = \sqrt{1 + x^2 + y^2}
quando
\displaystyle x = \ln(t) e \displaystyle y = \cos(t).
Aqui o conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como
f(x,y) = (1 + x^2 + y^2)^{\tfrac12},
aplicamos a regra da potência e a derivada de dentro:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac12\,(1 + x^2 + y^2)^{-\tfrac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}},
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac12\,(1 + x^2 + y^2)^{-\tfrac12}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}}.

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{d x}{d t} = \frac{d}{d t}(\ln t) = \frac{1}{t},
\frac{d y}{d t} = \frac{d}{d t}(\cos t) = -\sin t.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}}\;\frac{1}{t} + \frac{y}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}}\;(-\sin t).
Fatorando o denominador comum:
\frac{d f}{d t} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}} \Bigl(\frac{x}{t} - y\,\sin t\Bigr).

Passo 5

Substituir x = \ln t e y = \cos t:
\frac{d f}{d t} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\ln t)^2 + (\cos t)^2}} \Bigl(\frac{\ln t}{t} - \cos t\,\sin t\Bigr).

Resposta

\boxed{ \frac{d f}{d t} = \frac{\displaystyle \frac{\ln t}{t} \;-\; \cos t\,\sin t} {\displaystyle \sqrt{1 + (\ln t)^2 + (\cos t)^2}} }.

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