Calcule \frac{d f}{d t} das funções abaixo.
f(x, y)=\cos (x+4 y), x=5 t^{4} e y=\frac{1}{t};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f em função de t, onde
f(x,y)=\cos(x+4y),
x = 5t^{4},
y = t^{-1}.
O conteúdo aplicado é a regra de cadeia para funções de várias variáveis, que afirma
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=\cos(x+4y), temos
\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin(x+4y)
\frac{\partial f}{\partial y} = -4\sin(x+4y)

Passo 3

Calcular as derivadas de x e de y em relação a t. Como x=5t^{4} e y=t^{-1}, segue
\frac{dx}{dt} = 20t^{3}
\frac{dy}{dt} = -t^{-2} = -\frac{1}{t^{2}}

Passo 4

Aplicar a regra de cadeia:
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}
Substituindo os valores encontrados:
\frac{df}{dt} = -\sin(x+4y)\cdot 20t^{3} + \bigl(-4\sin(x+4y)\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{1}{t^{2}}\Bigr)

Passo 5

Fatorando -\sin(x+4y) e usando x+4y = 5t^{4} + \tfrac{4}{t}, obtemos
\frac{df}{dt} = -\sin\!\Bigl(5t^{4} + \tfrac{4}{t}\Bigr) \Bigl(20t^{3} - \tfrac{4}{t^{2}}\Bigr)

Resposta

\frac{df}{dt} = -\sin\!\Bigl(5t^{4} + \tfrac{4}{t}\Bigr) \Bigl(20t^{3} - \tfrac{4}{t^{2}}\Bigr)

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