- Calcule a fração preenchida por átomos para a família de plano {111} CFC
Passo 1
O enunciado pede: calcular a fração da área do plano preenchida por átomos (ou seja, a densidade de empacotamento planar) para a família de planos
em uma rede cúbica de face centrada (CFC).
Informações relevantes dadas/implícitas:
Informações relevantes dadas/implícitas:
- A rede é CFC.
- Considerar os átomos como esferas idênticas de raio
. - Quer-se a fração da área do plano
ocupada pelas projeções circulares dos átomos nesse plano.
Passo 2
Entender a geometria no plano
da CFC.
No arranjo CFC, o plano é o plano mais compacto: os centros dos átomos nesse plano formam uma rede triangular (empacotamento hexagonal no plano), em que átomos vizinhos se tocam. A distância entre centros de átomos vizinhos (a distância de contato) é
. Vamos relacionar o parâmetro de rede cúbica
com
só para referência e confirmar a distância de contato:
No arranjo CFC, o plano
A distância entre vizinhos mais próximos (entre centros que se tocam) é
como esperado.
Passo 3
Escolher uma célula primitiva 2D do plano
para calcular a área por átomo.
A rede triangular tem uma célula primitiva em forma de losango (paralelogramo) com lados de comprimento e ângulo de
. A área dessa célula primitiva é:
A rede triangular tem uma célula primitiva em forma de losango (paralelogramo) com lados de comprimento
Cada célula primitiva contém exatamente um átomo (um ponto de rede por célula).
Passo 4
Calcular a área ocupada pelo átomo projetado no plano.
Ao projetar a esfera sobre o plano, cada átomo aparece como um círculo de raio (assumimos que a projeção vista do centro do átomo tem área
). Assim, a área ocupada por um átomo é
Ao projetar a esfera sobre o plano, cada átomo aparece como um círculo de raio
Passo 5
Calcular a fração preenchida (packing fraction) no plano
.
A fração da área ocupada por átomos é a razão entre a área do círculo e a área da célula primitiva:
A fração da área ocupada por átomos é a razão entre a área do círculo e a área da célula primitiva:
Passo 6
Dar o valor numérico aproximado para interpretação rápida: