1. Calcule a fração preenchida por átomos para a família de plano {111} CFC

Passo 1

O enunciado pede: calcular a fração da área do plano preenchida por átomos (ou seja, a densidade de empacotamento planar) para a família de planos \{111\} em uma rede cúbica de face centrada (CFC).
Informações relevantes dadas/implícitas:
  • A rede é CFC.
  • Considerar os átomos como esferas idênticas de raio \,r.
  • Quer-se a fração da área do plano \{111\} ocupada pelas projeções circulares dos átomos nesse plano.

Passo 2

Entender a geometria no plano \{111\} da CFC.
No arranjo CFC, o plano \{111\} é o plano mais compacto: os centros dos átomos nesse plano formam uma rede triangular (empacotamento hexagonal no plano), em que átomos vizinhos se tocam. A distância entre centros de átomos vizinhos (a distância de contato) é 2r. Vamos relacionar o parâmetro de rede cúbica a com r só para referência e confirmar a distância de contato:
\text{na diagonal da face: } a\sqrt{2}=4r \quad\Rightarrow\quad a= \frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.
A distância entre vizinhos mais próximos (entre centros que se tocam) é
d_{\text{nn}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=2r,
como esperado.

Passo 3

Escolher uma célula primitiva 2D do plano \{111\} para calcular a área por átomo.
A rede triangular tem uma célula primitiva em forma de losango (paralelogramo) com lados de comprimento d_{\text{nn}}=2r e ângulo de 60^\circ. A área dessa célula primitiva é:
A_{\text{cel}}=(2r)^2\sin 60^\circ =4r^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,r^2.
Cada célula primitiva contém exatamente um átomo (um ponto de rede por célula).

Passo 4

Calcular a área ocupada pelo átomo projetado no plano.
Ao projetar a esfera sobre o plano, cada átomo aparece como um círculo de raio r (assumimos que a projeção vista do centro do átomo tem área \pi r^2). Assim, a área ocupada por um átomo é
A_{\text{átomo}}=\pi r^2.á

Passo 5

Calcular a fração preenchida (packing fraction) no plano \{111\}.
A fração da área ocupada por átomos é a razão entre a área do círculo e a área da célula primitiva:
\eta_{\{111\}}=\frac{A_{\text{átomo}}}{A_{\text{cel}}}=\frac{\pi r^2}{2\sqrt{3}\,r^2}=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}.á

Passo 6

Dar o valor numérico aproximado para interpretação rápida:
\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\approx 0,9069\quad(\text{ou }90{,}69\%\text{ da área}).á

Resposta

\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\approx 0,9069

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