A partir os dados fornecidos, estime o tamanho dos seguintes átomos: Al, Fe e Cu.
\begin{array}{ll} \rho \mathrm{Al}=2,70 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} & \mathrm{PM}=26,982 \\\ \rho \mathrm{Fe}=7,87 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} & \mathrm{PM}=55,847 \\\ \rho \mathrm{Cu}=8,96 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} & \mathrm{PM}=63,546 \end{array}
Compare seu resultado com a literatura e proponha o porquê das diferenças caso exista. Dados da literatura: \mathrm{Al}=143 \mathrm{pm}; \mathrm{Fe}=126 \mathrm{pm} ; \mathrm{Cu}=128 \mathrm{pm};

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Estimar o tamanho (raio atômico, em picômetros) dos átomos de Al, Fe e Cu a partir dos dados de densidade e massa molar fornecidos.
  • Comparar os resultados com os valores da literatura ( \mathrm{Al}=143\\ \mathrm{pm},\\ \mathrm{Fe}=126\\ \mathrm{pm},\\ \mathrm{Cu}=128\\ \mathrm{pm}) e justificar diferenças, se houver.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Para Al: \rho_{\mathrm{Al}} = 2{,}70\\ \mathrm{g/cm^{3}},\\ M_{\mathrm{Al}} = 26{,}982\\ \mathrm{g/mol}.
  • Para Fe: \rho_{\mathrm{Fe}} = 7{,}87\\ \mathrm{g/cm^{3}},\\ M_{\mathrm{Fe}} = 55{,}847\\ \mathrm{g/mol}.
  • Para Cu: \rho_{\mathrm{Cu}} = 8{,}96\\ \mathrm{g/cm^{3}},\\ M_{\mathrm{Cu}} = 63{,}546\\ \mathrm{g/mol}.
O objetivo aqui será calcular o raio efetivo do átomo cristalino usando a densidade do sólido metálico e a estrutura cristalina habitual de cada metal (ver próximo passo).

Passo 2

Método e fórmulas (explicação didática):
  • Para um sólido cristalino cúbico com parâmetro de rede a (comprimento da aresta da célula), número de átomos por cela Z, massa molar M, densidade \rho e constante de Avogadro N_A, a densidade é dada por
\rho = \frac{Z\,M}{N_A\,a^3}.
Expliquei cada símbolo:
  • \rho: densidade do sólido em \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Z: número de átomos na célula unitária (depende da estrutura: FCC tem Z=4, BCC tem Z=2).
  • M: massa molar em \mathrm{g/mol}.
  • N_A: constante de Avogadro (número de átomos por mol), N_A \approx 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • a: parâmetro de rede (em cm se \rho está em \mathrm{g/cm^3}).
  • Dessa relação isolamos a:
a = \left(\frac{Z\,M}{N_A\,\rho}\right)^{1/3}.
  • Relação entre a e o raio atômico r dependo da geometria:
    • Para FCC (face-centered cubic, usado por Al e Cu): a diagonal da face vale a\sqrt{2} e ela é igual a 4r. Logo
    a\sqrt{2} = 4r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{a}{2\sqrt{2}}.
    • Para BCC (body-centered cubic, usado por Fe a temperatura ambiente - o ferro \alpha-Fe é BCC): a diagonal do corpo vale a\sqrt{3} e ela é igual a 4r. Logo
    a\sqrt{3} = 4r \quad\Rightarrow\quad r = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a.
  • Plano de ação: para cada metal, usar a estrutura cristalina típica (Al: FCC, Fe: BCC, Cu: FCC), calcular a pela fórmula da densidade e então obter r. Converter r para picômetros sabendo que 1\\ \mathrm{pm} = 10^{-10}\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Constantes e conversões que vou usar:
  • N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{pm} = 10^{-10}\\ \mathrm{cm} (portanto, para ir de cm para pm multiplica-se por 10^{10}).
Cálculo para o alumínio (Al). Dados: \rho=2{,}70\\ \mathrm{g/cm^{3}},\\ M=26{,}982\\ \mathrm{g/mol},\\ Z=4 (FCC).
  1. Calcular a^3:
a^3 = \frac{Z\,M}{N_A\,\rho} = \frac{4\cdot 26{,}982}{6{,}022\times10^{23}\cdot 2{,}70} = \frac{107{,}928}{1{,}625{,}940\times10^{18}}.
Para manter números práticos:
a^3 \approx 6{,}6407\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.
  1. Extrair a:
a = (6{,}6407\times10^{-23})^{1/3} \approx 4{,}045\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  1. Converter para picômetros:
a \approx 4{,}045\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} \times 10^{10}\\ \frac{\mathrm{pm}}{\mathrm{cm}} = 404{,}5\\ \mathrm{pm}.
  1. Raio atômico (FCC):
r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{404{,}5}{2{,}828427}\\ \mathrm{pm} \approx 143{,}1\\ \mathrm{pm}.

Passo 4

Cálculo para o ferro (Fe). Dados: \rho=7{,}87\\ \mathrm{g/cm^{3}},\\ M=55{,}847\\ \mathrm{g/mol},\\ Z=2 (BCC).
  1. Calcular a^3:
a^3 = \frac{2\cdot 55{,}847}{6{,}022\times10^{23}\cdot 7{,}87} = \frac{111{,}694}{4{,}739{,}314\times10^{18}} \approx 2{,}3569\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.
  1. Extrair a:
a = (2{,}3569\times10^{-23})^{1/3} \approx 2{,}874\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  1. Converter para pm:
a \approx 287{,}4\\ \mathrm{pm}.
  1. Raio atômico (BCC):
r = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a \approx 0{,}4330127\times 287{,}4\\ \mathrm{pm} \approx 124{,}5\\ \mathrm{pm}.

Passo 5

Cálculo para o cobre (Cu). Dados: \rho=8{,}96\\ \mathrm{g/cm^{3}},\\ M=63{,}546\\ \mathrm{g/mol},\\ Z=4 (FCC).
  1. Calcular a^3:
a^3 = \frac{4\cdot 63{,}546}{6{,}022\times10^{23}\cdot 8{,}96} = \frac{254{,}184}{5{,}395{,}712\times10^{18}} \approx 4{,}7109\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.
  1. Extrair a:
a = (4{,}7109\times10^{-23})^{1/3} \approx 3{,}611\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  1. Converter para pm:
a \approx 361{,}1\\ \mathrm{pm}.
  1. Raio atômico (FCC):
r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{361{,}1}{2{,}828427}\\ \mathrm{pm} \approx 127{,}7\\ \mathrm{pm}.

Passo 6

Comparação com a literatura e possíveis razões para diferenças (explicação didática e amigável):
  • Resultados calculados:
    • r_{\mathrm{Al}}\approx 143{,}1\\ \mathrm{pm}.
    • r_{\mathrm{Fe}}\approx 124{,}5\\ \mathrm{pm}.
    • r_{\mathrm{Cu}}\approx 127{,}7\\ \mathrm{pm}.
  • Valores da literatura dados no enunciado:
    • r_{\mathrm{Al}}^{\mathrm{lit}} = 143\\ \mathrm{pm}.
    • r_{\mathrm{Fe}}^{\mathrm{lit}} = 126\\ \mathrm{pm}.
    • r_{\mathrm{Cu}}^{\mathrm{lit}} = 128\\ \mathrm{pm}.
Diferenças observadas:
  • Para Al e Cu as estimativas coincidem praticamente com os valores da literatura (diferenças menores que 0,2–0,1 %).
  • Para Fe a estimativa ficou um pouco menor ( \sim 1{,}2\% abaixo do valor de referência).
Possíveis causas das pequenas diferenças (importante entender o contexto):
  1. Definição de “raio atômico”: existem várias definições (raio covalente, raio iônico, raio de van der Waals, raio metálico). O método usado aqui dá o raio metálico efetivo assumindo esferas duras tocando-se na rede cristalina — isso geralmente coincide muito bem com o raio metálico tabulado, mas diferenças de convenção podem causar pequenos desvios.
  2. Estrutura cristalina e temperatura: usei as estruturas típicas a temperatura ambiente (Al e Cu FCC, Fe BCC). Se o ferro estivesse em outra fase (por exemplo \gamma-Fe, que é FCC a altas temperaturas), o Z e a relação a\leftrightarrow r mudariam e isso afetaria o resultado. Além disso, o parâmetro de rede depende de temperatura (expansão térmica).
  3. Arredondamento dos dados: usei valores de densidade e massas molares arredondados conforme o enunciado; pequenas diferenças em \rho provocam pequenas variações no raio calculado.
  4. Imperfeições, impurezas e microestrutura: a densidade medida experimentalmente pode ser afetada por poros, defeitos ou impurezas; a fórmula assume um cristal perfeito.
  5. Aproximação do modelo: o modelo de esferas rígidas é uma idealização; na realidade a distribuição eletrônica não é uma esfera rígida perfeita, levando a discrepâncias muito pequenas.
Em suma: os resultados obtidos estão em excelente acordo com a literatura; as pequenas diferenças são esperadas e explicáveis pelos fatores acima.

Resposta

r_{\mathrm{Al}} \approx 143{,}1\\ \mathrm{pm}
r_{\mathrm{Fe}} \approx 124{,}5\\ \mathrm{pm}
r_{\mathrm{Cu}} \approx 127{,}7\\ \mathrm{pm}

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