Calcule o grad
nos casos indicados:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente de
, ou seja, todas as derivadas parciais
,
e
e montar o vetor gradiente
, para a função
Informações dadas que vamos usar:
e portanto
.
Passo 2
Conceito e fórmula que usaremos (explicação didática): quando temos uma função composta no formato
, é prático escrever
. Assim, a derivada parcial em relação a uma variável
é
Aqui
e
podem depender de
. Essa fórmula vem da regra da cadeia e da derivada do exponencial: se
, então
. Vou aplicar isso porque facilita especialmente quando o expoente depende da variável (como no caso de
).
Passo 3
Cálculo de
. Observação:
não depende de
, então ao derivar em relação a
podemos usar a regra da potência usual para
com
tratado como constante:
Vamos calcular
. Como
,
Substituindo,
Organizando os fatores:
Passo 4
Uma forma alternativa, útil na prova, é fatorar
(porque
):
Essa equivalência vem de multiplicar e dividir por
:
Ambas as formas são corretas; a segunda é prática quando queremos escrever as derivadas em função de
.
Passo 5
Cálculo de
. O raciocínio é análogo ao do passo anterior, trocando
por
. Temos
e
constante em relação a
. Logo
ou, fatorando
,
Passo 6
Cálculo de
. Agora o expoente
depende de
, então é mais direto usar a forma
e aplicar a regra da cadeia:
Aqui note que
não depende de
, então
. Assim
Portanto
Passo 7
Juntando as três componentes, o gradiente
é o vetor cujas componentes são as parciais calculadas. Podemos apresentar de duas maneiras equivalentes; aqui dou a forma direta e a forma fatorada por
(útil na prova):
Forma direta:
Forma fatorada por
:
onde lembramos que
.