Calcule o grad f nos casos indicados:
f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+1\right)^{z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de f, ou seja, todas as derivadas parciais \partial f/\partial x, \partial f/\partial y e \partial f/\partial z e montar o vetor gradiente \nabla f, para a função
f(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{base }u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+1,\qquad \text{expoente }v(x,y,z)=z^{2},
e portanto f=u^{v}.

Passo 2

Conceito e fórmula que usaremos (explicação didática): quando temos uma função composta no formato f(x)=u(x)^{v(x)}, é prático escrever f=e^{v\ln u}. Assim, a derivada parcial em relação a uma variável t é
\frac{\partial}{\partial t}u^{v}=u^{v}\frac{\partial}{\partial t}\bigl(v\ln u\bigr).
Aqui u e v podem depender de x,y,z. Essa fórmula vem da regra da cadeia e da derivada do exponencial: se f=e^{g}, então f' = e^{g} g'. Vou aplicar isso porque facilita especialmente quando o expoente depende da variável (como no caso de z).

Passo 3

Cálculo de \partial f/\partial x. Observação: v=z^{2} não depende de x, então ao derivar em relação a x podemos usar a regra da potência usual para u^{v} com v tratado como constante:
\frac{\partial}{\partial x}u^{v}=v\,u^{v-1}\frac{\partial u}{\partial x}.
Vamos calcular \partial u/\partial x. Como u=x^{2}+y^{2}+1,
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial x}=z^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}-1}\cdot 2x.
Organizando os fatores:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,z^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}-1}.

Passo 4

Uma forma alternativa, útil na prova, é fatorar f (porque f=u^{v}):
\frac{\partial f}{\partial x}= \bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}}\cdot\frac{2x\,z^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}.
Essa equivalência vem de multiplicar e dividir por u:
2x\,z^{2}u^{z^{2}-1} = u^{z^{2}}\cdot\frac{2x\,z^{2}}{u}.
Ambas as formas são corretas; a segunda é prática quando queremos escrever as derivadas em função de f.

Passo 5

Cálculo de \partial f/\partial y. O raciocínio é análogo ao do passo anterior, trocando x por y. Temos \partial u/\partial y=2y e v=z^{2} constante em relação a y. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=z^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}-1}\cdot 2y,
ou, fatorando f,
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\,z^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}-1} = \bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}}\cdot\frac{2y\,z^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 6

Cálculo de \partial f/\partial z. Agora o expoente v=z^{2} depende de z, então é mais direto usar a forma f=e^{v\ln u} e aplicar a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial z}=f\cdot\frac{\partial}{\partial z}\bigl(v\ln u\bigr).
Aqui note que u=x^{2}+y^{2}+1 não depende de z, então \partial u/\partial z=0. Assim
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(v\ln u\bigr)=\frac{d}{dz}(z^{2})\cdot\ln u = 2z\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}= \bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}}\cdot 2z\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr).

Passo 7

Juntando as três componentes, o gradiente \nabla f é o vetor cujas componentes são as parciais calculadas. Podemos apresentar de duas maneiras equivalentes; aqui dou a forma direta e a forma fatorada por f (útil na prova):
Forma direta:
\nabla f(x,y,z)=\biggl(2x\,z^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}-1},\;2y\,z^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}-1},\;2z\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)\biggr).
Forma fatorada por f:
\nabla f(x,y,z)=\biggl(f\cdot\frac{2x\,z^{2}}{x^{2}+y^{2}+1},\;f\cdot\frac{2y\,z^{2}}{x^{2}+y^{2}+1},\;f\cdot 2z\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)\biggr),
onde lembramos que f=\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}}.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\biggl(2x\,z^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}-1},\;2y\,z^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}-1},\;2z\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)^{z^{2}}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)\biggr).

Exercícios relacionados