Calcule o grad f nos casos indicados:
f(x, y)=\frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=\dfrac{y}{x}\; e pede para calcular o gradiente de f. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é \;f(x,y)=\dfrac{y}{x}\;.
  • Implicitamente o domínio exige \;x\neq 0\; (porque não podemos dividir por zero).
  • A tarefa específica: encontrar \;\nabla f(x,y)\;, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calcular?
  • Definição: o gradiente de uma função de duas variáveis \;f(x,y)\; é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Derivada parcial: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando variamos x mantendo y fixo; análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y}, mantendo x fixo.
  • Estratégia: calcular separadamente \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Reescrever a função para aplicar regras de derivação com clareza:
f(x,y)=\frac{y}{x}=y\cdot x^{-1}.
Aqui estamos vendo y como um fator que, ao derivar em relação a x, é tratado como constante; e x^{-1} é a parte que depende de x.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Regra que usamos: derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Pode aplicar com n=-1.
  • Como f(x,y)=y\cdot x^{-1} e y é constante ao derivar por x, obtemos:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=y\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}.
  • Pequeno exemplo para fixar: se y=3, então f(x,3)=3/x e \partial f/\partial x=-3/x^{2}, que segue a mesma fórmula com y=3.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Aqui x é tratado como constante. A função é linear em y: f(x,y)=\dfrac{1}{x}\cdot y.
  • Derivando em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{x}\cdot\frac{d}{dy}(y)=\frac{1}{x}.
  • Verificação mental: se x=2, então f(2,y)=y/2 e derivada em y é 1/2, consistente com a fórmula.

Passo 6

Juntar as duas derivadas para formar o gradiente:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=\left(-\frac{y}{x^{2}},\;\frac{1}{x}\right).
Lembrando que esta expressão só vale quando \;x\neq 0\;, que é o domínio da função.

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(-\dfrac{y}{x^{2}},\dfrac{1}{x}\right)

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