Calcule o grad
nos casos indicados:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular o gradiente de
. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Implicitamente o domínio exige
(porque não podemos dividir por zero). - A tarefa específica: encontrar
, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e a .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calcular?
- Definição: o gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor das derivadas parciais:
- Derivada parcial:
é a taxa de variação de quando variamos mantendo fixo; análogo para , mantendo fixo. - Estratégia: calcular separadamente
e .
Passo 3
Reescrever a função para aplicar regras de derivação com clareza:
Aqui estamos vendo
como um fator que, ao derivar em relação a
, é tratado como constante; e
é a parte que depende de
.
Passo 4
Calcular
.
- Regra que usamos: derivada de
é . Pode aplicar com . - Como
e é constante ao derivar por , obtemos:
- Pequeno exemplo para fixar: se
, então e , que segue a mesma fórmula com .
Passo 5
Calcular
.
- Aqui
é tratado como constante. A função é linear em : . - Derivando em relação a
:
- Verificação mental: se
, então e derivada em é , consistente com a fórmula.
Passo 6
Juntar as duas derivadas para formar o gradiente:
Lembrando que esta expressão só vale quando
, que é o domínio da função.