Calcule o gradiente das seguintes funções
f(x, y, z)=\cos (x y)+\operatorname{sen}(y z)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\cos(xy)+\operatorname{sen}(yz)
e pede o gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z). Para isso vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Calcular \partial f/\partial x. A única parcela que depende de x é \cos(xy). Usando
\frac{d}{dx}\cos(u)=-\sin(u)\,\frac{du}{dx}
com u=xy e \frac{du}{dx}=y, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =-\sin(xy)\cdot y =-y\,\sin(xy).

Passo 3

Calcular \partial f/\partial y. Aqui temos duas parcelas:
  1. De \cos(xy), usamos novamente a cadeia com u=xy e \frac{du}{dy}=x:
-\sin(xy)\cdot x=-x\,\sin(xy).
  1. De \operatorname{sen}(yz), com v=yz e \frac{dv}{dy}=z:
\cos(yz)\cdot z=z\,\cos(yz).
Somando as duas contribuições:
\frac{\partial f}{\partial y} =-x\,\sin(xy)+z\,\cos(yz).

Passo 4

Calcular \partial f/\partial z. Só \operatorname{sen}(yz) depende de z. Com v=yz e \frac{dv}{dz}=y,
\frac{d}{dz}\operatorname{sen}(v)=\cos(v)\,\frac{dv}{dz} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial f}{\partial z} =y\,\cos(yz).

Resposta

\nabla f(x,y,z) =\bigl(-y\,\sin(xy),\,-x\,\sin(xy)+z\,\cos(yz),\,y\,\cos(yz)\bigr).

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