Calcule o gradiente das seguintes funções
f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}.
Para isso, a gente lembra que o gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e a y:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Escrevendo
f(x,y)=(x^2+y^2)^{-1},
pela regra da cadeia e a potência, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =-1\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2) =-1\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot2x =-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

Agora \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} =-1\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2) =-1\,(x^2+y^2)^{-2}\cdot2y =-\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}.

Resposta

\nabla f(x,y) =\Bigl( -\frac{2x}{(x^2+y^2)^2},\; -\frac{2y}{(x^2+y^2)^2} \Bigr).

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