Calcule
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região
Informações dadas (resumidas):
- A função a integrar é
. - A região
é formada pelos pontos cujo quadrado da distância à origem satisfaz .
O que a integral pede: calcular a área ponderada pela funçãosobre todos os pontos que satisfazem as duas desigualdades acima.
Passo 2
Motivação para mudar de coordenadas: a expressão
e as condições do domínio envolvem
, ou seja, a distância ao origem. Isso sugere usar coordenadas polares
onde
e
. Em coordenadas polares:
- A função integranda
vira simplesmente . - A medida de área
transforma-se em (esse fator extra é o jacobiano da transformação). Vou explicar esse jacobiano com calma.
Breve explicação do jacobiano: ao trocar de
para
a área elementar muda porque em polares um pequeno retângulo
corresponde a uma pequena peça de setor cuja área é aproximadamente
. Por isso usamos
.
Portanto, o integrando
vira
.
Passo 3
Converter as desigualdades que definem
para coordenadas polares.
A primeira desigualdade
fica
(consideramos
).
A segunda desigualdade
torna-se
novamente lembrando
. Para que haja pontos com
entre
e
é necessário que
, caso contrário o limite superior seria menor que o inferior e não haveria região. Então impomos
Os ângulos que satisfazem
são
Conclusão sobre o domínio em polares:
corresponde aos pontos com
Aviso intuitivo: geometricamente,
é o círculo de raio
e
pode ser reescrito como
, que é o círculo de centro
e raio
. A interseção desses dois círculos ocorre nos pontos onde
e também onde
; os ângulos entre as interseções são exatamente
. (Isso serve só para visualizar; a parte essencial já foi traduzida em polares.)
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares com os limites encontrados. O integrando virou
e o domínio é o produto dos intervalos acima, portanto
Observação sobre simetria: a função
e os limites em
são simétricos em torno de
porque
é função par. Podemos aproveitar essa simetria para escrever
o que economiza trabalho ao calcular integrais ímpares (aqui no fim só simplifica a conta).
Passo 5
Calcular a integral interna em
. A primitiva de
em
é
. Então
Substituindo de volta em
(usando a forma com fator
pela simetria):
Passo 6
Separar a integral e calcular cada termo:
Calcular
.
Para
use a primitiva conhecida:
pois derivando
recupera
. Avaliando de
a
:
Sabendo
, tem-se
Passo 7
Substituir os valores na expressão para
:
Agora simplificar: