Calcule
I=\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y
onde
D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geq 1, x^{2}+y^{2} \leq 2 x\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy
sobre a região
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\ge 1,\; x^{2}+y^{2}\le 2x\}.
Informações dadas (resumidas):
  • A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região D é formada pelos pontos cujo quadrado da distância à origem satisfaz 1\le x^{2}+y^{2}\le 2x.
    O que a integral pede: calcular a área ponderada pela função \sqrt{x^{2}+y^{2}} sobre todos os pontos (x,y) que satisfazem as duas desigualdades acima.

Passo 2

Motivação para mudar de coordenadas: a expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} e as condições do domínio envolvem x^{2}+y^{2}, ou seja, a distância ao origem. Isso sugere usar coordenadas polares (r,\theta) onde
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em coordenadas polares:
  • A função integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira simplesmente r.
  • A medida de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta (esse fator extra r é o jacobiano da transformação). Vou explicar esse jacobiano com calma.
Breve explicação do jacobiano: ao trocar de (x,y) para (r,\theta) a área elementar muda porque em polares um pequeno retângulo dr\times d\theta corresponde a uma pequena peça de setor cuja área é aproximadamente r\,dr\,d\theta. Por isso usamos dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Portanto, o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx\,dy vira r\cdot (r\,dr\,d\theta)=r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 3

Converter as desigualdades que definem D para coordenadas polares.
A primeira desigualdade x^{2}+y^{2}\ge 1 fica
r^{2}\ge 1 \quad\Rightarrow\quad r\ge 1
(consideramos r\ge 0).
A segunda desigualdade x^{2}+y^{2}\le 2x torna-se
r^{2}\le 2r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r\le 2\cos\theta,
novamente lembrando r\ge 0. Para que haja pontos com r entre 1 e 2\cos\theta é necessário que 2\cos\theta\ge 1, caso contrário o limite superior seria menor que o inferior e não haveria região. Então impomos
2\cos\theta\ge 1 \quad\Rightarrow\quad \cos\theta\ge \tfrac{1}{2}.
Os ângulos que satisfazem \cos\theta\ge \tfrac{1}{2} são
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right].
Conclusão sobre o domínio em polares: D corresponde aos pontos com
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right],\qquad r\in[1,\;2\cos\theta].
Aviso intuitivo: geometricamente, x^{2}+y^{2}=1 é o círculo de raio 1 e x^{2}+y^{2}=2x pode ser reescrito como (x-1)^{2}+y^{2}=1, que é o círculo de centro (1,0) e raio 1. A interseção desses dois círculos ocorre nos pontos onde r=1 e também onde r=2\cos\theta; os ângulos entre as interseções são exatamente \pm\pi/3. (Isso serve só para visualizar; a parte essencial já foi traduzida em polares.)

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares com os limites encontrados. O integrando virou r^{2} e o domínio é o produto dos intervalos acima, portanto
I=\int_{\theta=-\pi/3}^{\pi/3}\int_{r=1}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr\,d\theta.
Observação sobre simetria: a função r^{2} e os limites em \theta são simétricos em torno de \theta=0 porque \cos\theta é função par. Podemos aproveitar essa simetria para escrever
I=2\int_{0}^{\pi/3}\int_{1}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr\,d\theta,
o que economiza trabalho ao calcular integrais ímpares (aqui no fim só simplifica a conta).

Passo 5

Calcular a integral interna em r. A primitiva de r^{2} em r é r^{3}/3. Então
\int_{1}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{2\cos\theta}=\frac{(2\cos\theta)^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{8\cos^{3}\theta-1}{3}.
Substituindo de volta em I (usando a forma com fator 2 pela simetria):
I=2\int_{0}^{\pi/3}\frac{8\cos^{3}\theta-1}{3}\,d\theta=\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi/3}\bigl(8\cos^{3}\theta-1\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Separar a integral e calcular cada termo:
I=\frac{2}{3}\left(8\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta-\int_{0}^{\pi/3}1\,d\theta\right).
Calcular \int_{0}^{\pi/3}1\,d\theta = \tfrac{\pi}{3}.
Para \int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta use a primitiva conhecida:
\int \cos^{3}\theta\,d\theta=\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}+C,
pois derivando \sin\theta-\tfrac{\sin^{3}\theta}{3} recupera \cos^{3}\theta. Avaliando de 0 a \pi/3:
\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta=\left[\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}\right]_{0}^{\pi/3} =\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)-\frac{\sin^{3}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)}{3}.
Sabendo \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, tem-se
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)-\frac{\sin^{3}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8} =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{8} =\frac{3\sqrt{3}}{8}.

Passo 7

Substituir os valores na expressão para I:
I=\frac{2}{3}\left(8\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi}{3}\right) =\frac{2}{3}\left(3\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}\right).
Agora simplificar:
I=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}-\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{3}=2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{9}.

Resposta

2\sqrt{3}-\dfrac{2\pi}{9}

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