Calcule
I=\iint_{D}(x-y)^{2} \sin ^{2}(x+y) d x d y
onde D é a região plana delimitada pelas retas
y=-x+\pi, \quad y=-x+3 \pi, \quad y=x-\pi, \quad y=x+\pi .

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla
I=\iint_{D}(x-y)^{2}\sin^{2}(x+y)\,dx\,dy,
onde D é a região do plano delimitada pelas retas
y=-x+\pi,\qquad y=-x+3\pi,\qquad y=x-\pi,\qquad y=x+\pi.
Resumo do que foi dado e do que se pede:
  • Integrando-se a função (x-y)^{2}\sin^{2}(x+y) sobre a região D.
  • As quatro retas acima são os lados de D (formam um paralelogramo).
  • Objetivo: encontrar o valor numérico da integral I.

Passo 2

Escolha da mudança de variáveis. Observando a integranda, é natural usar as variáveis
u=x+y,\qquad v=x-y,
porque a integranda fica em função separada de u e v:
(x-y)^{2}\sin^{2}(x+y)=v^{2}\sin^{2}(u).
Explicação didática: ao escolher u=x+y e v=x-y estamos “alinhandо” as coordenadas com as combinações que aparecem na função. Isso costuma simplificar integrais quando aparecem x+y e x-y juntos.

Passo 3

Expressar x e y em função de u e v e calcular o jacobiano. Resolvo o sistema
u=x+y,\qquad v=x-y.
Somando e subtraindo:
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Agora o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é o determinante da matriz dos derivativos parciais:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix}.
Calculando o determinante:
\det = \frac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.
Portanto o fator de escala de área (valor absoluto do jacobiano) é
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{1}{2}.
Explicação didática: o jacobiano dá quanto um pequeno elemento de área du\,dv é esticado/encolhido ao virar dx\,dy; aqui dx\,dy=\tfrac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 4

Transformar as retas que delimitam D em equações em u e v.
Das retas dadas:
  • Para y=-x+\pi: u=x+y=\pi.
  • Para y=-x+3\pi: u=3\pi.
  • Para y=x-\pi: v=x-y=\pi.
  • Para y=x+\pi: v=x-y=-\pi.
Logo, na nova coordenada (u,v) a região D corresponde ao retângulo
\pi \le u \le 3\pi,\qquad -\pi \le v \le \pi.
Observação: peguei esses limites diretamente das equações das retas fornecidas.

Passo 5

Escrever a integral na nova variável e separar integrais. Usando dx\,dy=\tfrac{1}{2}\,du\,dv e a integranda v^{2}\sin^{2}(u), obtém-se
I=\iint_{D} (x-y)^{2}\sin^{2}(x+y)\,dx\,dy =\int_{u=\pi}^{3\pi}\!\int_{v=-\pi}^{\pi} v^{2}\sin^{2}(u)\cdot\frac{1}{2}\,dv\,du.
Como a função é produto de uma parte que depende só de v e outra só de u, podemos separar:
I=\frac{1}{2}\left(\int_{v=-\pi}^{\pi} v^{2}\,dv\right)\left(\int_{u=\pi}^{3\pi}\sin^{2}(u)\,du\right).
Explicação didática: quando a integranda é produto f(u)g(v) e o domínio é retângulo em u,v, a integral dupla fatoriza em produto de integrais simples.

Passo 6

Calcular a integral em v:
\int_{v=-\pi}^{\pi} v^{2}\,dv =2\int_{0}^{\pi} v^{2}\,dv =2\left[\frac{v^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi} =2\cdot\frac{\pi^{3}}{3} =\frac{2\pi^{3}}{3}.
Explicação didática: v^{2} é função par, por isso a integral de -\pi a \pi é duas vezes a integral de 0 a \pi.

Passo 7

Calcular a integral em u. Uso a identidade trigonométrica
\sin^{2}(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2},
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\int_{\pi}^{3\pi}\sin^{2}(u)\,du =\int_{\pi}^{3\pi}\frac{1-\cos(2u)}{2}\,du =\frac{1}{2}\int_{\pi}^{3\pi}1\,du-\frac{1}{2}\int_{\pi}^{3\pi}\cos(2u)\,du.
Calculo as duas parcelas:
\frac{1}{2}\int_{\pi}^{3\pi}1\,du=\frac{1}{2}(3\pi-\pi)=\pi.
E
\int_{\pi}^{3\pi}\cos(2u)\,du=\left[\frac{\sin(2u)}{2}\right]_{\pi}^{3\pi}=\frac{\sin(6\pi)-\sin(2\pi)}{2}=0,
pois \sin(2\pi)=\sin(6\pi)=0. Portanto
\int_{\pi}^{3\pi}\sin^{2}(u)\,du=\pi.

Passo 8

Juntar os resultados. Temos
I=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2\pi^{3}}{3}\right)\cdot\pi =\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi^{4}}{3} =\frac{\pi^{4}}{3}.
Portanto o valor da integral é \dfrac{\pi^{4}}{3}.

Resposta

\dfrac{\pi^{4}}{3}

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