Integrando-se a função (x-y)^{2}\sin^{2}(x+y) sobre a região D.
As quatro retas acima são os lados de D (formam um paralelogramo).
Objetivo: encontrar o valor numérico da integral I.
Passo 2
Escolha da mudança de variáveis. Observando a integranda, é natural usar as variáveis
u=x+y,\qquad v=x-y,
porque a integranda fica em função separada de u e v:
(x-y)^{2}\sin^{2}(x+y)=v^{2}\sin^{2}(u).
Explicação didática: ao escolher u=x+y e v=x-y estamos “alinhandо” as coordenadas com as combinações que aparecem na função. Isso costuma simplificar integrais quando aparecem x+y e x-y juntos.
Passo 3
Expressar x e y em função de u e v e calcular o jacobiano. Resolvo o sistema
u=x+y,\qquad v=x-y.
Somando e subtraindo:
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}.
Agora o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é o determinante da matriz dos derivativos parciais: