Calcule I=integralC y^3 d x+x^2 d y, onde C é o arco da parábola x=1-y^2 de (0,1) a (0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que calcular a integral de linha $ I = \int_{\mathcal{C}} y^{3} dx + x^{2} dy $. A curva $ \mathcal{C} $ é a parte da parábola $ x = 1 - y^{2} $ indo do ponto $ (0,1) $ até $ (0,-1) $. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como parametrizar a curva para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva $ \mathcal{C} $. Já que a parábola está expressa em termos de $ y $, faz sentido usar $ y $ como parâmetro. Então, definimos:
C
Como estamos indo de $ y = 1 $ até $ y = -1 $, nosso parâmetro $ y $ vai de 1 a -1.

Passo 3

Agora, precisamos expressar $ dx $ e $ dy $ em termos de $ y $. Diferenciando $ x $ em relação a $ y $:
dx
E, claro, $ dy $ permanece $ dy $.

Passo 4

Substituímos $ x $, $ dx $ e $ dy $ na integral original:
x
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
dx

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
I = [ -y^55 - 2y^33 + y ]1^-1
Calculando nos limites:
Para $ y = -1 $:
y = -1
Para $ y = 1 $:
- (-1)^55 - 2(-1)^33 + (-1) = 15 + 23 - 1
Subtraindo:
y = 1
Convertendo para denominadores comuns:
- 1^55 - 2(1)^33 + 1 = -15 - 23 + 1

Resposta

O valor da integral é $ I = -\frac{4}{15} $.

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