Calcule
, onde
é o arco da parábola
de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que calcular a integral de linha $ I = \int_{\mathcal{C}} y^{3} dx + x^{2} dy $. A curva $ \mathcal{C} $ é a parte da parábola $ x = 1 - y^{2} $ indo do ponto $ (0,1) $ até $ (0,-1) $. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha e como parametrizar a curva para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva $ \mathcal{C} $. Já que a parábola está expressa em termos de $ y $, faz sentido usar $ y $ como parâmetro. Então, definimos:
Como estamos indo de $ y = 1 $ até $ y = -1 $, nosso parâmetro $ y $ vai de 1 a -1.
Passo 3
Agora, precisamos expressar $ dx $ e $ dy $ em termos de $ y $. Diferenciando $ x $ em relação a $ y $:
E, claro, $ dy $ permanece $ dy $.
Passo 4
Substituímos $ x $, $ dx $ e $ dy $ na integral original:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Para $ y = -1 $:
Para $ y = 1 $:
Subtraindo:
Convertendo para denominadores comuns:
Resposta
O valor da integral é $ I = -\frac{4}{15} $.