Utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido antihorário e o fluxo exterior para o campo
e a curva
-
: é a fronteira da região delimitada pelas curvas
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema de Green para encontrar a circulação em sentido antihorário e o fluxo exterior para o campo vetorial
e a curva
, que é a fronteira da região delimitada pelas curvas
e
. Então, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green nessas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos trabalhando. Temos duas curvas:
e
. Para saber onde elas se encontram, vamos igualar as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação
, temos:
Então, as soluções são
e
. Portanto, a região está delimitada entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos visualizar a região. Para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de
até
. Isso significa que, para integrar, usaremos esses limites.
Passo 5
Vamos aplicar o Teorema de Green para calcular a circulação. O teorema nos diz que:
Onde
. Então, precisamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para a circulação:
Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Os limites são de
até
, e de
até
.
Passo 7
Calculando a integral dupla:
Integramos em
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos calcular o fluxo exterior. Pelo Teorema de Green, o fluxo é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 9
Configurando a integral dupla para o fluxo:
Integramos em
:
Simplificando dentro da integral:
Calculando a integral:
Resposta
A circulação em sentido antihorário é
e o fluxo exterior é
.