Utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido antihorário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C
  • F(x, y)=(x y, y^2)
    C : é a fronteira da região delimitada pelas curvas y=x e y=x^2-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema de Green para encontrar a circulação em sentido antihorário e o fluxo exterior para o campo vetorial F(x, y) = (xy, y^2) e a curva C, que é a fronteira da região delimitada pelas curvas y = x e y = x^2 - x. Então, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região que estamos trabalhando. Temos duas curvas: y = x e y = x^2 - x. Para saber onde elas se encontram, vamos igualar as duas equações:
x = x^2 - x

Passo 3

Resolvendo a equação x = x^2 - x, temos:
x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 2. Portanto, a região está delimitada entre x = 0 e x = 2.

Passo 4

Agora, vamos visualizar a região. Para cada valor de x entre 0 e 2, y varia de y = x^2 - x até y = x. Isso significa que, para integrar, usaremos esses limites.

Passo 5

Vamos aplicar o Teorema de Green para calcular a circulação. O teorema nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx , dy
Onde F = (M, N) = (xy, y^2). Então, precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Npartial x = partial (y^2)partial x = 0 partial Mpartial y = partial (xy)partial y = x
Substituindo na fórmula:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 0 - x = -x

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para a circulação:
ointC F cdot dr = integral duplaD (-x) , dx , dy
Vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Os limites são de y = x^2 - x até y = x, e de x = 0 até x = 2.

Passo 7

Calculando a integral dupla:
integral duplaD (-x) , dx , dy = -integral0^2 integralx^2 - x^x x , dy , dx
Integramos em y:
- integral0^2 x [ y ]y = x^2 - x^y = x dx = - integral0^2 x (x - (x^2 - x)) , dx = - integral0^2 x (2x - x^2) , dx
Simplificando:
- integral0^2 (2x^2 - x^3) , dx = - [ 2x^33 - x^44 ]0^2 = - ( 163 - 4 ) = - ( 163 - 123 ) = - ( 43 ) = -43

Passo 8

Agora, vamos calcular o fluxo exterior. Pelo Teorema de Green, o fluxo é dado por:
ointC F cdot n , ds = integral duplaD ( partial Mpartial x + partial Npartial y ) dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial x = partial (xy)partial x = y partial Npartial y = partial (y^2)partial y = 2y
Então:
partial Mpartial x + partial Npartial y = y + 2y = 3y

Passo 9

Configurando a integral dupla para o fluxo:
integral duplaD 3y , dx , dy = 3 integral0^2 integralx^2 - x^x y , dy , dx
Integramos em y:
3 integral0^2 [ y^22 ]y = x^2 - x^y = x dx = 3 integral0^2 ( x^22 - (x^2 - x)^22 ) dx
Simplificando dentro da integral:
3 integral0^2 12 ( x^2 - (x^4 - 2x^3 + x^2) ) dx = 32 integral0^2 (-x^4 + 2x^3) , dx
Calculando a integral:
32 [ -x^55 + 2x^44 ]0^2 = 32 ( -325 + 8 ) = 32 ( -325 + 405 ) = 32 cdot 85 = 245

Resposta

A circulação em sentido antihorário é -43 e o fluxo exterior é 245.

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