Calcule i1 se: (a) \mathrm{R}=1 \Omega e (b) \mathrm{R}=9 \Omega

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão e o que é pedido. (Peguei estes dados da imagem.)
  • O circuito tem dois nós óbvios: um nó superior e um nó inferior (referência).
  • Há uma fonte de corrente independente de 6\\ \text{A} no ramo mais à esquerda, com seta para cima (ou seja, fornece 6\\ \text{A} ao nó superior).
  • Há uma fonte de corrente independente de 2\\ \text{A} no ramo mais à direita, com seta para baixo (ou seja, retira 2\\ \text{A} do nó superior).
  • No meio existem três ramos entre os nós superior e inferior, em paralelo:
    • Um resistor R entre os nós (valor variável).
    • Uma fonte de corrente dependente (diamante) com intensidade 2 i_1 e seta para cima (entrega corrente para o nó superior), onde i_1 é a corrente no resistor de 3\\ \Omega.
    • Um resistor de 3\\ \Omega com corrente i_1 indicada para baixo (do nó superior para o nó inferior).
  • O enunciado pede: calcular i_1 nos dois casos (a) R=1\\ \Omega e (b) R=9\\ \Omega.
    Observação: a corrente i_1 está definida como positiva no sentido de cima para baixo através do resistor de 3\\ \Omega.

Passo 2

Vamos escolher uma variável para a diferença de potencial entre o nó superior e o inferior: chamo essa tensão de V, definida como a tensão do nó superior menos a do nó inferior. Explico por que isso é útil:
  • A Lei de Ohm relaciona tensão e corrente num resistor: se um resistor de resistência R tem diferença de potencial V (do nó superior para o inferior), a corrente que vai do superior para o inferior é \dfrac{V}{R}. Essa corrente será positiva se V for positiva, seguindo o sentido superior→inferior.
  • Aplicando isso ao resistor 3\\ \Omega: a corrente i_1 (definida para baixo) é
i_1=\frac{V}{3}.
  • Para o resistor R: a corrente do nó superior para o inferior (vou chamar de i_R) é
i_R=\frac{V}{R}.

Passo 3

Agora uso a lei dos nós (KCL) no nó superior. Vou organizar sinais assim: contarei como positivas as correntes que saem do nó superior (ou seja, que vão para o nó inferior). Correntes que entram no nó superior terão sinal negativo nessa convenção, ou então posso igualar soma das correntes que saem à soma das correntes que entram. Aqui é mais direto listar entradas e saídas:
  • Correntes que saem do nó superior (para baixo): i_R pelo resistor R, i_1 pelo resistor 3\\ \Omega, e a fonte independente de 2\\ \text{A} (pois sua seta está para baixo, isso é uma corrente do nó superior para o inferior).
  • Correntes que entram no nó superior (vindas de baixo para cima): a fonte independente de 6\\ \text{A} (seta para cima) e a fonte dependente 2 i_1 (seta para cima).
Escrevendo KCL (saídas = entradas):
i_R + i_1 + 2 = 6 + 2 i_1.
Agora substituo i_R=\dfrac{V}{R} e i_1=\dfrac{V}{3}:
\frac{V}{R} + \frac{V}{3} + 2 = 6 + 2\cdot\frac{V}{3}.

Passo 4

Faço a álgebra para isolar V. Primeiro reorganizo os termos com V:
\frac{V}{R} + \frac{V}{3} - 2\cdot\frac{V}{3} = 6 - 2.
Isso simplifica o lado direito e combina os termos de V:
\frac{V}{R} + \left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)V = 4.
\frac{V}{R} - \frac{V}{3} = 4.
Coloco V em evidência:
V\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{3}\right)=4.
Desde que \dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{3}\neq0, temos
V=\frac{4}{\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{3}}.
Como i_1=\dfrac{V}{3}, substituo V e simplifico para obter i_1 diretamente em função de R:
i_1=\frac{V}{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{3}} =\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{3}}.
Colocando em uma forma mais simples (reduzindo frações):
\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-R}{3R},
logo
i_1=\frac{4}{3}\cdot\frac{3R}{3-R}=\frac{4R}{3-R}.
Portanto a expressão geral é
i_1=\frac{4R}{3-R}.

Passo 5

Agora calculo os dois casos pedidos usando a fórmula \displaystyle i_1=\frac{4R}{3-R}.
(a) Para R=1\\ \Omega:
i_1=\frac{4\cdot 1}{3-1}=\frac{4}{2}=2.
Logo \,i_1=2\\ \text{A}. Como o resultado é positivo, o sentido da corrente é o mesmo da seta indicada na figura (de cima para baixo).

Passo 6

(b) Para R=9\\ \Omega:
i_1=\frac{4\cdot 9}{3-9}=\frac{36}{-6}=-6.
Logo \,i_1=-6\\ \text{A}. O sinal negativo significa que a corrente real tem sentido oposto ao indicado pela seta: o valor absoluto é 6\\ \text{A} mas com direção de baixo para cima (ou seja, 6\\ \text{A} subindo pelo resistor de 3\\ \Omega).

Passo 7

Comentário prático rápido (útil para prova): repare que quando R=3\\ \Omega a fórmula tem denominador zero; isso significa que nesse valor o sistema é singular (não é possível determinar V finito com as equações lineares do circuito — física: o circuito tende a exigir correntes/ tensões inconsistentes). Portanto em exercícios, se aparecer R=3\\ \Omega é um caso especial que precisa ser analisado separadamente.

Resposta

(a) \displaystyle i_1=2\\ \text{A}
(b) \displaystyle i_1=-6\\ \text{A}

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