Calcule i1 se: (a)
e (b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão e o que é pedido. (Peguei estes dados da imagem.)
- O circuito tem dois nós óbvios: um nó superior e um nó inferior (referência).
- Há uma fonte de corrente independente de
no ramo mais à esquerda, com seta para cima (ou seja, fornece ao nó superior). - Há uma fonte de corrente independente de
no ramo mais à direita, com seta para baixo (ou seja, retira do nó superior). - No meio existem três ramos entre os nós superior e inferior, em paralelo:
- Um resistor
entre os nós (valor variável). - Uma fonte de corrente dependente (diamante) com intensidade
e seta para cima (entrega corrente para o nó superior), onde é a corrente no resistor de . - Um resistor de
com corrente indicada para baixo (do nó superior para o nó inferior).
- Um resistor
- O enunciado pede: calcular
nos dois casos (a) e (b) .
Observação: a correnteestá definida como positiva no sentido de cima para baixo através do resistor de .
Passo 2
Vamos escolher uma variável para a diferença de potencial entre o nó superior e o inferior: chamo essa tensão de
, definida como a tensão do nó superior menos a do nó inferior. Explico por que isso é útil:
- A Lei de Ohm relaciona tensão e corrente num resistor: se um resistor de resistência
tem diferença de potencial (do nó superior para o inferior), a corrente que vai do superior para o inferior é . Essa corrente será positiva se for positiva, seguindo o sentido superior→inferior. - Aplicando isso ao resistor
: a corrente (definida para baixo) é
- Para o resistor
: a corrente do nó superior para o inferior (vou chamar de ) é
Passo 3
Agora uso a lei dos nós (KCL) no nó superior. Vou organizar sinais assim: contarei como positivas as correntes que saem do nó superior (ou seja, que vão para o nó inferior). Correntes que entram no nó superior terão sinal negativo nessa convenção, ou então posso igualar soma das correntes que saem à soma das correntes que entram. Aqui é mais direto listar entradas e saídas:
- Correntes que saem do nó superior (para baixo):
pelo resistor , pelo resistor , e a fonte independente de (pois sua seta está para baixo, isso é uma corrente do nó superior para o inferior). - Correntes que entram no nó superior (vindas de baixo para cima): a fonte independente de
(seta para cima) e a fonte dependente (seta para cima).
Escrevendo KCL (saídas = entradas):
Agora substituo
e
:
Passo 4
Faço a álgebra para isolar
. Primeiro reorganizo os termos com
:
Isso simplifica o lado direito e combina os termos de
:
Coloco
em evidência:
Desde que
, temos
Como
, substituo
e simplifico para obter
diretamente em função de
:
Colocando em uma forma mais simples (reduzindo frações):
logo
Portanto a expressão geral é
Passo 5
Agora calculo os dois casos pedidos usando a fórmula
.
(a) Para
:
Logo
. Como o resultado é positivo, o sentido da corrente é o mesmo da seta indicada na figura (de cima para baixo).
Passo 6
(b) Para
:
Logo
. O sinal negativo significa que a corrente real tem sentido oposto ao indicado pela seta: o valor absoluto é
mas com direção de baixo para cima (ou seja,
subindo pelo resistor de
).
Passo 7
Comentário prático rápido (útil para prova): repare que quando
a fórmula tem denominador zero; isso significa que nesse valor o sistema é singular (não é possível determinar
finito com as equações lineares do circuito — física: o circuito tende a exigir correntes/ tensões inconsistentes). Portanto em exercícios, se aparecer
é um caso especial que precisa ser analisado separadamente.
Resposta
(a)
(b)
(b)