Calcule as áreas das seguintes superficies, utilizando a área da superfície diferencial d S : r=10, \pi / 4<\theta<2 \pi / 3,0<\varphi<2 \pi
Passo 1
O enunciado dá uma superfície esférica e pede a sua área. Informações fornecidas:
Raio da esfera: r=10.
Intervalo do ângulo polar: \pi/4<\theta<2\pi/3.
Intervalo do ângulo azimutal: 0<\varphi<2\pi.
Pergunta que o enunciado faz:
Calcular a área da superfície correspondente à região da esfera de raio 10 limitada pelos ângulos acima.
Passo 2
Entender o que é o diferencial de área na superfície de uma esfera e de onde vem a fórmula que vamos usar.
Explicação didática do sistema de coordenadas usadas:
Em coordenadas esféricas usamos \theta para o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo z positivo, e \varphi para o ângulo azimutal no plano xy.
Um ponto na superfície de raio fixo r tem vetor posição
Calculando as derivadas e o produto vetorial (um cálculo padrão que pode ser feito elemento a elemento), obtém-se a fórmula simples e muito usada para a esfera:
dS = r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Aqui r é o raio fixo da esfera, \theta e \varphi são os parâmetros da superfície; \sin\theta aparece porque os arcos em \theta têm “comprimento efetivo” proporcional a \sin\theta.
Passo 3
Montar a integral dupla que dá a área pedida, usando o dS acima e os limites dados: