Calcule as áreas das seguintes superficies, utilizando a área da superfície diferencial d S :
r=10, \pi / 4<\theta<2 \pi / 3,0<\varphi<2 \pi

Passo 1

O enunciado dá uma superfície esférica e pede a sua área. Informações fornecidas:
  • Raio da esfera: r=10.
  • Intervalo do ângulo polar: \pi/4<\theta<2\pi/3.
  • Intervalo do ângulo azimutal: 0<\varphi<2\pi.
Pergunta que o enunciado faz:
  • Calcular a área da superfície correspondente à região da esfera de raio 10 limitada pelos ângulos acima.

Passo 2

Entender o que é o diferencial de área na superfície de uma esfera e de onde vem a fórmula que vamos usar.
Explicação didática do sistema de coordenadas usadas:
  • Em coordenadas esféricas usamos \theta para o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo z positivo, e \varphi para o ângulo azimutal no plano xy.
  • Um ponto na superfície de raio fixo r tem vetor posição
\mathbf{r}(\theta,\varphi)=r\big(\sin\theta\cos\varphi,\\ \sin\theta\sin\varphi,\\ \cos\theta\big).
Como se obtém o diferencial de área dS:
  • Parametrizamos a superfície por (\theta,\varphi) mantendo r constante.
  • O diferencial de área é dado pela magnitude do produto vetorial entre as derivadas parciais:
dS=\big\|\partial_{\theta}\mathbf{r}\times\partial_{\varphi}\mathbf{r}\big\|\,d\theta\,d\varphi.
  • Calculando as derivadas e o produto vetorial (um cálculo padrão que pode ser feito elemento a elemento), obtém-se a fórmula simples e muito usada para a esfera:
dS = r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Aqui r é o raio fixo da esfera, \theta e \varphi são os parâmetros da superfície; \sin\theta aparece porque os arcos em \theta têm “comprimento efetivo” proporcional a \sin\theta.

Passo 3

Montar a integral dupla que dá a área pedida, usando o dS acima e os limites dados:
\text{Área}=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=\pi/4}^{2\pi/3} r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.Á
Substituindo r=10 (logo r^{2}=100):
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/4}^{2\pi/3} 100\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.Á

Passo 4

Integrar em \varphi primeiro (é simples porque o integrando não depende de \varphi):
\text{Área}=100\left(\int_{0}^{2\pi} d\varphi\right)\left(\int_{\pi/4}^{2\pi/3}\sin\theta\,d\theta\right) =100\cdot(2\pi)\cdot\int_{\pi/4}^{2\pi/3}\sin\theta\,d\theta.Á

Passo 5

Integrar em \theta. Lembre-se: uma antiderivada de \sin\theta é -\cos\theta. Então
\int_{\pi/4}^{2\pi/3}\sin\theta\,d\theta = \big[-\cos\theta\big]_{\pi/4}^{2\pi/3} = -\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) + \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right).
Conhecendo os cossenos:
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}.
Portanto
\int_{\pi/4}^{2\pi/3}\sin\theta\,d\theta = -\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{1+\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Voltar para a expressão da área:
\text{Área}=100\cdot(2\pi)\cdot\frac{1+\sqrt{2}}{2}.Á
Simplificando o fator 2 com \tfrac{1}{2}:
\text{Área}=100\pi\big(1+\sqrt{2}\big).Á
Cálculo numérico aproximado (para conferência): usando \sqrt{2}\approx1,41421356,
\text{Área}\approx100\pi(2,41421356)\approx758,4476.Á

Resposta

\;100\pi\big(1+\sqrt{2}\big)\approx758,4476

Exercícios relacionados