3.5 Dado que \mathbf{H}=x^{2} \mathbf{a}_{x}+y^{2} \mathbf{a}_{y}, calcule \int_{L} \mathbf{H} \cdot \boldsymbol{d}, considere L ao longo da curva y=x^{2}, de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede que seja calculada a integral de linha
\int_{L} \mathbf{H}\cdot \boldsymbol{d},
onde a campo vetorial é \mathbf{H}=x^{2}\,\mathbf{a}_{x}+y^{2}\,\mathbf{a}_{y} e a curva L é dada por y=x^{2}, indo do ponto (0,0) até (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo vetorial é \mathbf{H}(x,y)=x^{2}\,\mathbf{a}_{x}+y^{2}\,\mathbf{a}_{y}.
  • A curva L é a parábola y=x^{2}, orientada de (0,0) para (1,1).
  • A integral a calcular é do tipo \int_{L}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{r} (integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva).

Passo 2

Explicando o que é essa integral e o método que vamos usar (de um jeito tranquilo):
  • A integral de linha de um campo vetorial \mathbf{H} ao longo de uma curva L é definida por
\int_{L}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{r}=\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{H}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt,
onde \mathbf{r}(t) é uma parametrização da curva L com t variando de t_0 até t_1.
  • Aqui vamos parametrizar a curva y=x^{2} de forma simples usando x como parâmetro: tomar x=t e y=t^{2}. Assim o parâmetro t vai de 0 até 1 para percorrer de (0,0) até (1,1).
  • Depois substituímos \mathbf{H} na parametrização, calculamos d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt e fazemos o produto escalar \mathbf{H}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t). Por fim integramos em t de 0 a 1.

Passo 3

Parametrização da curva e cálculo de d\mathbf{r}:
  • Escolhemos a parametrização
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{a}_{x}+t^{2}\,\mathbf{a}_{y},\qquad 0\le t\le 1.
  • Derivando em relação a t obtemos
\mathbf{r}'(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t\,\mathbf{a}_{x}+t^{2}\,\mathbf{a}_{y}\big)=1\cdot\mathbf{a}_{x}+2t\cdot\mathbf{a}_{y}.
  • Assim o diferencial de deslocamento é
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(\mathbf{a}_{x}+2t\,\mathbf{a}_{y})\,dt.

Passo 4

Avaliar o campo \mathbf{H} ao longo da parametrização:
  • Substituindo x=t e y=t^{2} em \mathbf{H} obtemos
\mathbf{H}(\mathbf{r}(t))=t^{2}\,\mathbf{a}_{x}+(t^{2})^{2}\,\mathbf{a}_{y}=t^{2}\,\mathbf{a}_{x}+t^{4}\,\mathbf{a}_{y}.

Passo 5

Formar o integrando \mathbf{H}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) e escrever a integral em t:
  • O produto escalar é
\mathbf{H}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=\big(t^{2}\,\mathbf{a}_{x}+t^{4}\,\mathbf{a}_{y}\big)\cdot\big(\mathbf{a}_{x}+2t\,\mathbf{a}_{y}\big).
  • Calculando o produto escalar componente a componente (lembre que \mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{x}=1, \mathbf{a}_{y}\cdot\mathbf{a}_{y}=1 e \mathbf{a}_{x}\cdot\mathbf{a}_{y}=0):
\mathbf{H}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=t^{2}\cdot 1 + t^{4}\cdot (2t)=t^{2}+2t^{5}.
  • Portanto a integral de linha vira a integral em t:
\int_{L}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1}\big(t^{2}+2t^{5}\big)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1}\big(t^{2}+2t^{5}\big)\,dt passo a passo:
  • Integramos termo a termo usando antiderivadas básicas:
\int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3},\qquad \int 2t^{5}\,dt=2\cdot\frac{t^{6}}{6}=\frac{t^{6}}{3}.
  • Assim a antiderivada do integrando é
\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{6}}{3}.
  • Avaliando de 0 a 1:
\left[\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{6}}{3}\right]_{0}^{1}=\left(\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{6}}{3}\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}+\frac{0^{6}}{3}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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