3.5 Dado que
, calcule
, considere
ao longo da curva
, de
a
.
Passo 1
O enunciado pede que seja calculada a integral de linha
onde a campo vetorial é
e a curva
é dada por
, indo do ponto
até
.
Informações relevantes fornecidas:
- O campo vetorial é
. - A curva
é a parábola , orientada de para . - A integral a calcular é do tipo
(integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva).
Passo 2
Explicando o que é essa integral e o método que vamos usar (de um jeito tranquilo):
- A integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva é definida por
onde
é uma parametrização da curva
com
variando de
até
.
- Aqui vamos parametrizar a curva
de forma simples usando como parâmetro: tomar e . Assim o parâmetro vai de até para percorrer de até . - Depois substituímos
na parametrização, calculamos e fazemos o produto escalar . Por fim integramos em de a .
Passo 3
Parametrização da curva e cálculo de
:
- Escolhemos a parametrização
- Derivando em relação a
obtemos
- Assim o diferencial de deslocamento é
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da parametrização:
- Substituindo
e em obtemos
Passo 5
Formar o integrando
e escrever a integral em
:
- O produto escalar é
- Calculando o produto escalar componente a componente (lembre que
, e ):
- Portanto a integral de linha vira a integral em
:
Passo 6
Calcular a integral
passo a passo:
- Integramos termo a termo usando antiderivadas básicas:
- Assim a antiderivada do integrando é
- Avaliando de
a :