Calcule \iiint_{\boldsymbol{D}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V. Onde \boldsymbol{D} é uma região limitada pelos planos z=-2, z=4 \mathrm{e} pelo cilindro x^{2}+y^{2}=16. Faça o esboço.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral tripla \iiint_{\boldsymbol{D}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV.
  • A região \boldsymbol{D} é limitada pelos planos z=-2 e z=4 e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=16.
  • Também pede que se faça o esboço da região.
Informações relevantes dadas:
  • O cilindro x^{2}+y^{2}=16 é um cilindro circular de raio 4 ao longo do eixo z.
  • Os planos horizontais cortam esse cilindro em alturas z=-2 e z=4, portanto a altura da região é 4-(-2)=6.

Passo 2

Escolha de coordenadas e transformação da integral (aula rápida sobre cilindricas).
  • Coordenadas cilíndricas: usar (r,\theta,z) onde x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.Aqui \;r\ge 0\; é a distância da origem no plano xy, \theta é o ângulo polar e z é a coordenada vertical.
  • Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.Explicação curta: um pequeno pedaço de área no plano xy tem comprimento radial dr e arco de comprimento r\,d\theta, então a área é r\,dr\,d\theta; multiplicando por dz obtém-se o volume.
  • A função integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em cilíndricas isso vira exatamente r, porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}=r.
  • Portanto o integrando original se torna r e, multiplicando pelo Jacobiano r, a função a integrar em termos de r,\theta,z será r\cdot r = r^{2}.

Passo 3

Determinação dos limites de integração (explicando passo a passo).
  • Pela equação do cilindro x^{2}+y^{2}=16 pegamos r^{2}=16, logo 0\le r\le 4.Explicação: para ocupar todo interior do cilindro, r varia do centro ( 0) até a borda ( 4).
  • Como o cilindro é circular completo, o ângulo \theta percorre toda a volta: 0\le \theta\le 2\pi.
  • Os planos horizontais dão os limites em z: -2\le z\le 4.
  • Resumo dos limites: (r,\theta,z)\in[0,4]\times[0,2\pi]\times[-2,4].

Passo 4

Montagem da integral em coordenadas cilíndricas.
  • Substituindo tudo, a integral fica \iiint_{\boldsymbol{D}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{4}\int_{z=-2}^{4} r^{2}\,dz\,dr\,d\theta.Aqui cada símbolo foi explicado antes: r^{2} é o integrando transformado e dz\,dr\,d\theta são as medidas de integração com os limites estabelecidos.

Passo 5

Integração na ordem escolhida (primeiro z, depois r, depois \theta).
  • Integro em z primeiro: \displaystyle \int_{z=-2}^{4} r^{2}\,dz = r^{2}\bigl[z\bigr]_{-2}^{4} = r^{2}(4-(-2)) = r^{2}\cdot 6.
    Observação: r é tratado como constante ao integrar em z.
  • A integral reduz-se a \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} 6r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Continuando as integrais em r e \theta (contas detalhadas).
  • Integro em r: \int_{0}^{4} 6r^{2}\,dr = 6\cdot\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = 6\cdot\frac{4^{3}}{3} = 6\cdot\frac{64}{3} = \frac{384}{3} = 128.Passo-a-passo: \int r^{2}dr = r^{3}/3. Avaliando em 0 e 4 64/3. Multiplica por 6 resulta 128.
  • Agora integrar em \theta: \int_{0}^{2\pi} 128\,d\theta = 128\cdot\bigl[ \theta \bigr]_{0}^{2\pi} = 128\cdot 2\pi = 256\pi.

Passo 7

Esboço da região \boldsymbol{D} — como desenhar rapidinho (passo a passo para a prova).
  • Desenho no plano xz ou em perspectiva:
    1. Comece desenhando o eixo z vertical e o plano xy como plano horizontal.
    2. Desenhe um círculo de raio 4 no plano xy (centro na origem) — isso representa a seção em z=0.
    3. A partir desse círculo, trace retas verticais para cima e para baixo até as alturas z=4 e z=-2. Isso forma um cilindro reto de altura 6.
    4. Marque claramente o topo em z=4 e o fundo em z=-2 e sombreie o interior do cilindro entre essas alturas — essa é a região \boldsymbol{D}.
  • Notas úteis para o esboço: indique o raio 4 e a altura 6. Se quiser uma vista 3D rápida, desenhe um cilindro com elipses nas faces superior e inferior e linhas verticais ligando-as.

Resposta

\;256\pi\;

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