Calcule
. Onde
é uma região limitada pelos planos
pelo cilindro
. Faça o esboço.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular a integral tripla
. - A região
é limitada pelos planos e e pelo cilindro . - Também pede que se faça o esboço da região.
Informações relevantes dadas:
- O cilindro
é um cilindro circular de raio ao longo do eixo . - Os planos horizontais cortam esse cilindro em alturas
e , portanto a altura da região é .
Passo 2
Escolha de coordenadas e transformação da integral (aula rápida sobre cilindricas).
- Coordenadas cilíndricas: usar
onde Aqui é a distância da origem no plano , é o ângulo polar e é a coordenada vertical. - Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
Explicação curta: um pequeno pedaço de área no plano tem comprimento radial e arco de comprimento , então a área é ; multiplicando por obtém-se o volume. - A função integrando é
. Em cilíndricas isso vira exatamente , porque - Portanto o integrando original se torna
e, multiplicando pelo Jacobiano , a função a integrar em termos de será .
Passo 3
Determinação dos limites de integração (explicando passo a passo).
- Pela equação do cilindro
pegamos , logo Explicação: para ocupar todo interior do cilindro, varia do centro ( ) até a borda ( ). - Como o cilindro é circular completo, o ângulo
percorre toda a volta: - Os planos horizontais dão os limites em
: - Resumo dos limites:
.
Passo 4
Montagem da integral em coordenadas cilíndricas.
- Substituindo tudo, a integral fica
Aqui cada símbolo foi explicado antes: é o integrando transformado e são as medidas de integração com os limites estabelecidos.
Passo 5
Integração na ordem escolhida (primeiro
, depois
, depois
).
- Integro em
primeiro: .
Observação:é tratado como constante ao integrar em . - A integral reduz-se a
Passo 6
Continuando as integrais em
e
(contas detalhadas).
- Integro em
: Passo-a-passo: . Avaliando em e dá . Multiplica por resulta . - Agora integrar em
:
Passo 7
Esboço da região
— como desenhar rapidinho (passo a passo para a prova).
- Desenho no plano
ou em perspectiva: - Comece desenhando o eixo
vertical e o plano como plano horizontal. - Desenhe um círculo de raio
no plano (centro na origem) — isso representa a seção em . - A partir desse círculo, trace retas verticais para cima e para baixo até as alturas
e . Isso forma um cilindro reto de altura . - Marque claramente o topo em
e o fundo em e sombreie o interior do cilindro entre essas alturas — essa é a região .
- Comece desenhando o eixo
- Notas úteis para o esboço: indique o raio
e a altura . Se quiser uma vista 3D rápida, desenhe um cilindro com elipses nas faces superior e inferior e linhas verticais ligando-as.