Calcule a integral, \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d x, transformando para coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dz\,dy\,dx
transformando para coordenadas cilíndricas. Informações dadas e relevantes:
  • A função a integrar é \,x^{2}+y^{2}\,.
  • O limite inferior em z é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o limite superior é z=2.
  • Os limites de x e y descrevem a projeção no plano xy que é o disco de raio 2 (pois x^{2}+y^{2}\le 4).
  • A figura mostra a região entre o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o plano z=2 sobre esse disco.

Passo 2

Definição e interpretação das coordenadas cilíndricas:
  • Em coordenadas cilíndricas usa-se x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
  • Aqui r\ge 0 é a distância radial no plano xy, \theta é o ângulo polar e z é a altura como antes.
  • A relação x^{2}+y^{2}=r^{2} simplifica a função a integrar.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Explicação curta do Jacobiano: a pequena área no plano xy é dA=r\,dr\,d\theta, e multiplicando por dz obtém-se dV.

Passo 3

Determinação dos novos limites em (r,\theta,z):
  • Como a projeção no plano xy é o disco de raio 2, tem-se 0\le r\le 2 e \,0\le\theta\le 2\pi.
  • O limite inferior em z era z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em cilíndricas isso fica z=r (pois \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r).
  • O limite superior em z é z=2.
  • Logo, para cada (r,\theta) com 0\le r\le 2, z varia de z=r até z=2.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas:
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dV=r\,dz\,dr\,d\theta, o integrando (x^{2}+y^{2})\,dV vira r^{2}\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.
  • A integral transforma-se em
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r}^{2} r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em z:
  • Integrando em z primeiro, r^{3} é constante em relação a z, então
\int_{r}^{2} r^{3}\,dz = r^{3}\bigl[z\bigr]_{z=r}^{z=2} = r^{3}(2-r).

Passo 6

Calcular a integral em r:
  • Substituindo o resultado anterior,
\int_{0}^{2} r^{3}(2-r)\,dr = \int_{0}^{2} (2r^{3}-r^{4})\,dr.
  • Calcular antiderivadas:
\int 2r^{3}\,dr = 2\cdot\frac{r^{4}}{4}=\frac{r^{4}}{2},\qquad \int r^{4}\,dr=\frac{r^{5}}{5}.
  • Avaliando de 0 a 2:
\left(\frac{r^{4}}{2}-\frac{r^{5}}{5}\right)\Bigg|_{0}^{2} = \left(\frac{2^{4}}{2}-\frac{2^{5}}{5}\right)-0 = \left(\frac{16}{2}-\frac{32}{5}\right) = 8-\frac{32}{5} = \frac{40-32}{5} = \frac{8}{5}.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e obter o resultado final:
  • A integral em \theta multiplica pelo comprimento angular 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{5}\cdot 2\pi = \frac{16\pi}{5}.
  • Portanto o valor da integral pedida é \dfrac{16\pi}{5}.

Resposta

\dfrac{16\pi}{5}

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