Calcule a integral, \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) d z d y d x, transformando para coordenadas cilíndricas.
transformando para coordenadas cilíndricas. Informações dadas e relevantes:
A função a integrar é \,x^{2}+y^{2}\,.
O limite inferior em z é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o limite superior é z=2.
Os limites de x e y descrevem a projeção no plano xy que é o disco de raio 2 (pois x^{2}+y^{2}\le 4).
A figura mostra a região entre o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o plano z=2 sobre esse disco.
Passo 2
Definição e interpretação das coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas cilíndricas usa-se x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z.
Aqui r\ge 0 é a distância radial no plano xy, \theta é o ângulo polar e z é a altura como antes.
A relação x^{2}+y^{2}=r^{2} simplifica a função a integrar.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r\,dz\,dr\,d\theta. Explicação curta do Jacobiano: a pequena área no plano xy é dA=r\,dr\,d\theta, e multiplicando por dz obtém-se dV.
Passo 3
Determinação dos novos limites em (r,\theta,z):
Como a projeção no plano xy é o disco de raio 2, tem-se 0\le r\le 2 e \,0\le\theta\le 2\pi.
O limite inferior em z era z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em cilíndricas isso fica z=r (pois \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r).
O limite superior em z é z=2.
Logo, para cada (r,\theta) com 0\le r\le 2, z varia de z=r até z=2.
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas cilíndricas:
Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dV=r\,dz\,dr\,d\theta, o integrando (x^{2}+y^{2})\,dV vira r^{2}\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.